Сравнение десятичных дробей — Гипермаркет знаний.
В этом уроке мы научимся сравнивать дроби между собой. Это очень полезный навык, который необходим для решения целого класса более сложных задач.
Для начала напомню определение равенства дробей:
Дроби a /b и c /d называются равными, если ad = bc .
- 5/8 = 15/24, поскольку 5 · 24 = 8 · 15 = 120;
- 3/2 = 27/18, поскольку 3 · 18 = 2 · 27 = 54.
Во всех остальных случаях дроби являются неравными, и для них справедливо одно из следующих утверждений:
- Дробь a /b больше, чем дробь c /d ;
- Дробь a /b меньше, чем дробь c /d .
Дробь a /b называется большей, чем дробь c /d , если a /b − c /d > 0.
Дробь x /y называется меньшей, чем дробь s /t , если x /y − s /t < 0.
Обозначение:
Таким образом, сравнение дробей сводится к их вычитанию. Вопрос: как не запутаться с обозначениями «больше» (>) и «меньше» (<)? Для ответа просто приглядитесь к тому, как выглядят эти знаки:
- Расширяющаяся часть галки всегда направлена к большему числу;
- Острый нос галки всегда указывает на меньшее число.
Часто в задачах, где требуется сравнить числа, между ними ставят знак «∨». Это - галка носом вниз, что как бы намекает: большее из чисел пока не определено.
Задача. Сравнить числа:
Следуя определению, вычтем дроби друг из друга:
В каждом сравнении нам потребовалось приводить дроби к общему знаменателю. В частности, используя метод «крест-накрест» и поиск наименьшего общего кратного. Я намеренно не акцентировал внимание на этих моментах, но если что-то непонятно, загляните в урок «Сложение и вычитание дробей » - он совсем легкий.
Сравнение десятичных дробей
В случае с десятичными дробями все намного проще. Здесь не надо ничего вычитать - достаточно просто сравнить разряды. Не лишним будет вспомнить, что такое значащая часть числа. Тем, кто забыл, предлагаю повторить урок «Умножение и деление десятичных дробей » - это также займет буквально пару минут.
Положительная десятичная дробь X больше положительной десятичной дроби Y , если в ней найдется такой десятичный разряд, что:
- Цифра, стоящая в этом разряде в дроби X , больше соответствующей цифры в дроби Y ;
- Все разряды старше данного у дробей X и Y совпадают.
- 12,25 > 12,16. Первые два разряда совпадают (12 = 12), а третий - больше (2 > 1);
- 0,00697 < 0,01. Первые два разряда опять совпадают (00 = 00), а третий - меньше (0 < 1).
Другими словами, мы последовательно просматриваем десятичные разряды и ищем различие. При этом большей цифре соответствует и большая дробь.
Однако это определение требует пояснения. Например, как записывать и сравнивать разряды до десятичной точки? Вспомните: к любому числу, записанному в десятичной форме, можно приписывать слева любое количество нулей. Вот еще пара примеров:
- 0,12 < 951, т.к. 0,12 = 000,12 - приписали два нуля слева. Очевидно, 0 < 9 (речь идет о старшем разряде).
- 2300,5 > 0,0025, т.к. 0,0025 = 0000,0025 - приписали три нуля слева. Теперь видно, что различие начинается в первом же разряде: 2 > 0.
Конечно, в приведенных примерах с нулями был явный перебор, но смысл именно такой: заполнить недостающие разряды слева, а затем сравнить.
Задача. Сравните дроби:
- 0,029 ∨ 0,007;
- 14,045 ∨ 15,5;
- 0,00003 ∨ 0,0000099;
- 1700,1 ∨ 0,99501.
По определению имеем:
- 0,029 > 0,007. Первые два разряда совпадают (00 = 00), дальше начинается различие (2 > 0);
- 14,045 < 15,5. Различие - во втором разряде: 4 < 5;
- 0,00003 > 0,0000099. Здесь надо внимательно считать нули. Первые 5 разрядов в обеих дробях нулевые, но дальше в первой дроби стоит 3, а во второй - 0. Очевидно, 3 > 0;
- 1700,1 > 0,99501. Перепишем вторую дробь в виде 0000,99501, добавив 3 нуля слева. Теперь все очевидно: 1 > 0 - различие обнаружено в первом же разряде.
К сожалению, приведенная схема сравнения десятичных дробей не универсальна. Этим методом можно сравнивать только положительные числа . В общем же случае алгоритм работы следующий:
- Положительная дробь всегда больше отрицательной;
- Две положительные дроби сравниваются по приведенному выше алгоритму;
- Две отрицательные дроби сравниваются так же, но в конце знак неравенства меняется на противоположный.
Ну как, неслабо? Сейчас рассмотрим конкретные примеры - и все станет понятно.
Задача. Сравните дроби:
- 0,0027 ∨ 0,0072;
- −0,192 ∨ −0,39;
- 0,15 ∨ −11,3;
- 19,032 ∨ 0,0919295;
- −750 ∨ −1,45.
- 0,0027 < 0,0072. Здесь все стандартно: две положительные дроби, различие начинается на 4 разряде (2 < 7);
- −0,192 > −0,39. Дроби отрицательные, 2 разряд разный. 1 < 3, но в силу отрицательности знак неравенства меняется на противоположный;
- 0,15 > −11,3. Положительное число всегда больше отрицательного;
- 19,032 > 0,091. Достаточно вторую дробь переписать в виде 00,091, чтобы увидеть, что различие возникает уже в 1 разряде;
- −750 < −1,45. Если сравнить числа 750 и 1,45 (без минусов), легко видеть, что 750 > 001,45. Различие - в первом же разряде.
Урок усвоения и закрепления новых знаний
Тема : Сравнение десятичных дробей
Дамбаева Валентина Матвеевна
Учитель математики
МАОУ «СОШ № 25» г. Улан-Удэ
Тема. Сравнение десятичных дробей.
Дидактическая цель: научить учащихся сравнивать две десятичные дроби. Познакомить учащихся с правилом сравнения. Сформировать умение находить большую (меньшую) дробь.
Воспитательная цель. Развивать творческую активность учащихся в процессе решения примеров. Воспитать интерес к математике, подбором различных типов заданий. Воспитывать сообразительность, смекалку, развивать гибкое мышление. Продолжать формировать у учащихся умение самокритично относиться к результатам выполненной работы.
Оборудование урока. Раздаточный материал. Сигнальные карточки, карточки-задания, копировальная бумага.
Наглядные пособия. Таблицы-задания, плакат-правила.
Вид занятия. Усвоение новых знаний. Закрепление новых знаний.
План урока
Организационный момент. 1 мин.
Проверка домашней работы. 3 мин.
Повторение. 8 мин.
Объяснение новой темы. 18-20 мин.
Закрепление. 25-27 мин.
Подведение итога работы. 3 мин.
Домашнее задание. 1 мин.
Экспресс-диктант. 10-13 мин
Ход урока .
1. Организационный момент .
2. Проверка домашней работы . Сбор тетрадей.
3. Повторение (устно).
а) сравнить обыкновенные дроби (работа с сигнальными карточками).
4/5 и 3/5; 4/4 и 13/40; 1 и 3/2; 4/2 и 12/20; 3 5/6 и 5 5/6;
б) В каком разряде 4 единицы, 2 единицы…..?
57532, 4081
в) сравнить натуральные числа
99 и 1111; 54 4 и 53 4, 556 и 559 ; 4 366 и 7 366;
Как сравнить числа с одинаковым количеством цифр?
(Числа с одинаковым количеством цифр сравнивают поразрядно, начиная со старшего разряда. Плакат-правило).
Можно представить, что одноименные разряды «соревнуются», чьё разрядное слагаемое больше: единица с единицами, десятки с десятками и т.д.
4. Объяснение новой темы .
а) Каким знаком (>, < или =) следует заменить вопросительный знак между десятичными дробями на рисунке.
Плакат- задание
3425, 672678 ? 3425, 672478
14, 24000 ? 14, 24
Для ответа на этот вопрос нужно научиться сравнивать десятичные дроби.
12, 3 < 15,3
72,1 > 68,4 Почему?
Из двух десятичных дробей больше та, у которой больше целая часть.
13,5 > 13,4
0, 327 > 0,321
Почему?
Если же целые части сравниваемых дробей равны между собой, то сравнивают их дробную часть по разрядам.
3. 0,800 ? 0,8
1,32 ? 1,3
А как быть, если этих цифр разное количество? Если к десятичной дроби справа приписать один или несколько нулей, то значение дроби не изменится.
Обратно, если десятичная дробь оканчивается нулями, то эти нули можно отбросить, значение дроби от этого не изменится.
Рассмотрим три десятичные дроби:
1,25 1,250 1,2500
Чем они отличаются друг от друга?
Только количеством нулей в конце записи.
А какие числа они обозначают?
Чтобы выяснить это, нужно записать для каждой из дробей сумму разрядных слагаемых.
1,25 = 1+ 2/10 + 5/100
1,250 = 1+ 2/10 + 5/100 1 25/100 = 1,25
1,2500 = 1+ 2/10 + 5/100
Во всех равенствах справа написана одна и та же сумма. Значит, все три дроби обозначают одно и то же число. Иначе, эти три дроби равны: 1,25 = 1,250 = 1,2500.
Десятичные дроби можно изображать на координатном луче так же, как и обыкновенные дроби. Например, чтобы изобразить на координатном луче десятичную дробь 0,5. сначала представим ее в виде обыкновенной дроби: 0,5 = 5/10. Затем отложим от начала луча пять десятых единичных отрезка. Получим точку А(0,5)
Равные десятичные дроби изображаются на координатном луче одной и той же точкой.
Меньшая десятичная дробь лежит на координатном луче левее большей, и большая – правее меньшей
б) Работа с учебником, с правилом.
А теперь попробуй ответить на вопрос, который был поставлен в начале объяснения: каким знаком (>, < или =) следует заменить вопросительный знак.
5. Закрепление.
№1
Сравните: Работа с сигнальными карточками
85.09 и 67,99
55,7 и 55,700
0,0025 и 0,00247
98,52 м и 65,39 м
149,63 кг и 150,08 кг
3,55 0 С и 3,61 0 С
6,784 ч и 6,718 ч
№ 2
Напишите десятичную дробь
а) с четырьмя знаками после запятой, равную 0,87
б) с пятью знаками после запятой, равную 0,541
в) с тремя знаками после запятой, равную 35
г) с двумя знаками после запятой, равную 8,40000
2 ученика работают на индивидуальных досках
№ 3
Смекалкин приготовился выполнять задание на сравнение чисел и переписал в тетрадь несколько пар чисел, между которыми нужно поставить знак > или <. Вдруг он нечаянно уронил тетрадь на мокрый пол. Записи размазались, и некоторые цифры стало невозможно разобрать. Вот что получилось:
а) 4,3 ** и 4,7**
б) **, 412 и *, 9*
в) 0,742 и 0,741*
г)*, *** и **,**
д) 95,0** и *4,*3*
Смекалкину понравилось, что он смог выполнить задание с размазанными цифрами. Ведь вместо задания получились загадки. Он сам решил придумать загадки с размазанными цифрами и предлагает вам. В следующих записях некоторые цифры размазаны. Нужно отгадать, какие это цифры.
а) 2,*1 и 2,02
б) 6,431 и 6,4*8
в) 1,34 и 1,3*
г) 4,*1 и 4,41
д) 4,5*8 и 4, 593
е) 5,657* и 5,68
Задание на плакате и на индивидуальных карточках.
Проверка-обоснование каждого поставленного знака.
№ 4
Я утверждаю:
а) 3,7 меньше, чем 3,278
ведь в первом числе цифр меньше, чем во втором.
б) 25,63 равно 2,563
Ведь у них одни и те же цифры идут в одном и том же порядке.
Исправьте мое утверждение
«Контрпример» (устно)
№ 5
Какие натуральные числа стоят между числами (письменно).
а) 3, 7 и 6,6
б) 18,2 и 19,8
в) 43 и 45,42
г) 15 и 18
6. Итог урока.
Как сравнить две десятичные дроби с разными целыми числами?
Как сравнить две десятичные дроби с одинаковыми целыми числами?
Как сравнить две десятичные дроби с равным количеством знаков после запятой?
7. Домашнее задание.
8. Экспресс-диктант.
Запишите числа короче
0,90 1,40
10,72000 61,610000
Сравните дроби
0,3 и 0,31 0,4 и 0,43
0,46 и 0,5 0,38 и 0,4
55,7 и 55,700 88,4 и 88,400
Расставьте в порядке
Убывания Возрастания
3,456; 3465; 8,149; 8,079; 0,453
Какие натуральные числа стоят между числами?
7,5 и 9,1 3,25 и 5,5
84 и 85,001 0,3 и 4
Поставьте цифры, чтобы было верно неравенство:
15,*2 > 15,62 4,60 < 4,*3
6,99 6,8
Проверка экспресс-диктанта с доски
Дополнительное задание.
1. Напишите 3 примера своему соседу и проверь!
Литература:
Стратилатов П.В. «О системе работы учителя математики» Москва «Просвещение» 1984
Кабалевский Ю.Д. «Самостоятельная работа учащихся в процессе обучения математике» 1988
Буланова Л.М., Дудницын Ю.П. «Проверочные задания по математике»,
Москва «Посвещение» 1992
В.Г. Коваленко «Дидактические игры на уроках математики» Москва «Просвещение» 1990
Минаева С.С. «Вычисления на уроках и внеклассных занятиях по математике» Москва «Просвещение» 1983
Отрезка АВ равна 6 см, то есть 60 мм. Так как 1 см = дм, то 6 см = дм. Значит, АВ - 0,6 дм. Так как 1 мм = дм, то 60 мм = дм. Значит, АВ = 0,60 дм.
Таким образом, АВ = 0,6 дм = 0,60 дм. Значит, десятичные дроби 0,6 и 0,60 выражают длину одного и того же отрезка в дециметрах. Эти дроби равны друг другу: 0,6 = 0,60.
Если в конце десятичной дроби приписать нуль или отбросить нуль, то получится дробь
, равная данной.
Например,
0,87 = 0,870 = 0,8700; 141 = 141,0 = 141,00 = 141,000;
26,000 = 26,00 = 26,0 = 26; 60,00 = 60,0 = 60;
0,900 = 0,90 = 0,9.
Сравним две десятичные дроби 5,345 и 5,36. Уравняем число десятичных знаков, приписав к числу 5,36 справа нуль. Получаем дроби 5,345 и 5,360.
Запишем их в виде неправильных дробей:
У этих дробей одинаковые знаменатели. Значит, та из них больше, у которой больше числитель.
Так как 5345 < 5360, то 
а значит, 5,345 < 5,360, то есть 5,345 < 5,36.
Чтобы сравнить две десятичные дроби, надо сначала уравнять у них число десятичных знаков, приписав к одной из них справа нули, а потом, отбросив запятую, сравнить получившиеся натуральные числа
.
Десятичные дроби можно изображать на координатном луче так же, как и обыкновенные дроби.
Например, чтобы изобразить на координатном луче десятичную дробь 0,4, сначала представим ее в виде обыкновенной дроби: 0,4 = Затем отложим от начала луча четыре десятых единичного отрезка. Получим точку A(0,4) (рис. 141).
Равные десятичные дроби изображаются на координатном луче одной и той же точкой.
Например, дроби 0,6 и 0,60 изображаются одной точкой В (см. рис. 141).
Меньшая десятичная дробь лежит на координатном луче левее большей, и большая - правее меньшей.
Например, 0,4 < 0,6 < 0,8, поэтому точка A(0,4) лежит левее точки B(0,6), а точка С(0,8) лежит правее точки B(0,6) (см. рис. 141).
Изменится ли десятичная дробь, если в конце ее приписать нуль?
А6 нулей?
Сформулируйте правило сравнения десятичных
дробей.
1172. Напишите десятичную дробь:
а) с четырьмя знаками после запятой, равную 0,87;
б) с пятью знаками после запятой, равную 0,541;
в) с тремя знаками после занятой, равную 35;
г) с двумя знаками после запятой, равную 8,40000.
1173. Приписав справа нули, уравняйте число знаков после запятой в десятичных дробях:1,8; 13,54 и 0,789.
1174. Запишите короче дроби:2,5000; 3,02000; 20,010.
85,09 и 67,99; 55,7 и 55,7000; 0,5 и 0,724; 0,908 и 0,918; 7,6431 и 7,6429; 0,0025 и 0,00247.
1176. Расставьте в порядке возрастания числа:
3,456; 3,465; 8,149; 8,079; 0,453.
0,0082; 0,037; 0,0044; 0,08; 0,0091
расставьте в порядке убывания.
а) 1,41 < х < 4,75; г) 2,99 < х < 3;
б) 0,1 < х < 0,2; д) 7 < х < 7,01;
в) 2,7 < х < 2,8; е) 0,12 < х < 0,13.
1184. Сравните величины:
а) 98,52 м и 65,39 м; д) 0,605 т и 691,3 кг;
б) 149,63 кг и 150,08 кг; е) 4,572 км и 4671,3 м;
в) 3,55°С и 3,61°С; ж) 3,835 га и 383,7 а;
г) 6,781 ч и 6,718 ч; з) 7,521 л и 7538 см3.
Можно ли сравнить 3,5 кг и 8,12 м? Приведите несколько примеров величин, которые нельзя сравнивать.
1185. Вычислите устно:
1186. Восстановите цепочку вычислений
1187. Можно ли сказать, сколько цифр после запятой в записи десятичной дроби, если ее название заканчивается словом:
а) сотых; б) десятитысячных; в) десятых; г) миллионных?
Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные уроки
