Реклама на портале

Реферат: Теория игр и её практическое применение. Теория игр в экономике и других областях человеческой деятельности

В каждой ситуации мы придерживаемся определённой стратегии. Обычно это происходит бессознательно, отсюда и частые ошибки. Избежать их можно, если научиться угадывать действия другого человека.

Взять, к примеру, свидания. Мы все выбираем одну главную стратегию: пытаемся скрыть отрицательные черты характера и показать положительные.

Пока не буду рассказывать, что каждый вечер люблю полежать с пивком на диване. Расскажу, когда она узнает меня поближе и поймёт, что в остальном я в порядке.

Павел, диванный эксперт

Такая стратегия - это, скорее, не ложь, а умалчивание.

Пример

Представьте ситуацию: мужчина и женщина встречаются несколько месяцев и однажды . У мужчины квартира небольшая, поэтому логично, что речь идёт о переезде в квартиру женщины.

Надо сказать, что мужчина работает экономистом. Он проанализировал ситуацию и понял, что отказываться от аренды квартиры пока невыгодно. Сейчас он платит небольшие деньги и в случае разрыва отношений не найдёт такой же хороший вариант. Женщина, узнав об этом, немедленно бросает кавалера.

В чём ошиблась эта пара? Мужчина, верно просчитав ситуацию с экономической точки зрения, не учёл психологического фактора. Жест с квартирой женщина восприняла как несерьёзность намерений. Но она не подумала о том, что её ухажёр - экономист, стало быть, принимает решения в первую очередь с позиции «выгодно - невыгодно». Таким образом, эта игра была проиграна обоими участниками.

Что делать

Просчитывайте не только свои действия, но и реакцию других людей. Почаще спрашивайте себя: а как можно интерпретировать мой поступок? Совет специально для мужчин: объясняйте свои действия и помните, что любая недоговорённость - повод для вашей второй половины пофантазировать. Стратегическое мышление - это не только математика, но и психология!

2. Игра на 90 баллов

Загадки, квесты, и логику перестанут быть проблемой после изучения теории игр. Вы научитесь искать все существующие варианты ответов и выбирать среди них наиболее подходящий.

Пример

Два студента попросили профессора отсрочить экзамен. Они рассказали душещипательную историю о том, как поехали на выходные в другой город, но на обратной дороге у них спустило шину. Помощь пришлось искать всю ночь, поэтому они не выспались и плохо себя чувствуют. (На самом деле друзья отмечали окончание сессии, а этот экзамен был заключительным и не самым тяжёлым.)

Профессор согласился. На следующий день он рассадил студентов в разные аудитории и раздал по листку, где было лишь два вопроса. Первый стоил всего 10 баллов, а второй - 90 и звучал так: «Какое колесо спустило?»

Если опираться на логику, то ответ будет «Правое переднее колесо»: именно справа, ближе к обочине чаще всего валяется всякий мусор, на который в первую очередь наезжает передняя шина. Но не спешите.

В этой ситуации важно дать не столько правильный (логичный) ответ, сколько ответ, который будет написан на бумажке друга.

Поэтому очевидно, что оба студента будут строить догадки исходя из предположения, как думает другой.

Можно рассуждать так: есть ли у студентов что-то «общее» с одним из колёс? Возможно, год назад им вместе приходилось уже менять какое-то колесо. Или одна шина измазана краской, и оба студента знают об этом. Если такой момент будет найден, именно этот вариант и стоит выбрать. Даже если другой студент не знаком с теорией игр, он может вспомнить этот случай и указать нужное колесо.

Что делать

В рассуждениях опирайтесь не только на логику, но и на жизненные обстоятельства. Помните: не всё то, что логично для вас, так же логично и для другого. Чаще привлекайте друзей и родственников к играм на мышление. Это позволит понять, как думают близкие вам люди, и в дальнейшем избежать сложных ситуаций, как в примере выше.

3. Игра с собой

Знания о стратегических играх помогают глубже анализировать собственные решения.

Пример

Некая Ольга решает, пробовать ей курить или нет.

Дерево игры

На рисунке представлено так называемое дерево игры: его полезно рисовать каждый раз, когда вам нужно принять какое-либо решение. Ветви этого дерева - варианты развития событий. Цифры (0, 1 и -1) - выигрыш, то есть будет ли игрок победителем, если изберёт тот или иной вариант.

Итак, с чего начинать. Вначале надо определить, какое решение будет лучшим и худшим. Предположим, что самое предпочтительное развитие событий для Ольги - попробовать курить, но не продолжать этого делать. Присвоим этому варианту выигрыш 1 (первая цифра левой нижней ветки). В худшем случае девушка станет зависимой от курения: присваиваем этому варианту выигрыш -1 (первая цифра правой нижней ветки). Таким образом, ветка дерева с вариантом вообще не пробовать курить получает 0.

Предположим, что Ольга решила попробовать курить. Что дальше? Бросит она или нет? Это уже будет решать Будущая Ольга, на рисунке она вступает в игру по ветке «Попробовать». Если у неё уже сформировалась зависимость, то бросать курить она не захочет, поэтому варианту «Продолжать» ставим выигрыш 1 (вторая цифра правой нижней ветки).

Что мы получаем? Нынешняя Ольга будет в выигрыше в том случае, если попробует курить, но не попадёт в зависимость. А это, в свою очередь, зависит от Будущей Ольги, для которой выгоднее курить (она уже курит довольно давно, значит, у неё есть зависимость, стало быть, бросать она не захочет). Так стоит ли так рисковать? Может, сыграть вничью: получить выигрыш 0 и вообще не пробовать курить?

Что делать

Просчитывать стратегию можно не только в игре с кем-то, но и в игре с самим собой. Попробуйте нарисовать дерево игры, и вы увидите, приведёт ли ваше нынешнее решение к выигрышу.

4. Игра в аукцион

Есть разные типы аукционов. Например, в фильме «Двенадцать стульев» проходил так называемый английский аукцион. Его схема проста: побеждает тот, кто предлагает наибольшую сумму за выставленный лот. Обычно устанавливается минимальный шаг для поднятия цены, в остальном ограничений нет.

Пример

В эпизоде с аукционом из «Двенадцати стульев» Остап Бендер допустил стратегическую ошибку. Вслед за предложением в 145 рублей за лот он поднял цену сразу до двухсот.

С точки зрения теории игр Остапу следовало повышать ставку, но минимально до тех пор, пока не останется конкурентов. Таким образом, он смог бы сэкономить деньги и не попасть впросак: Остапу не хватило 30 рублей, чтобы оплатить комиссионный сбор.

Что делать

Есть игры, такие как аукцион, в которые нужно играть только головой. Заранее определитесь с тактикой и подумайте о максимальной сумме, которую вы готовы отдать за лот. Дайте себе слово не превышать лимит. Этот шаг поможет справиться с азартом, если он вдруг вас настигнет.

5. Игра на обезличенном рынке

Обезличенный рынок - это банки, страховые компании, подрядчики, консульства. В общем, те участники игры, у которых нет имён и фамилий. Они обезличены, но при этом ошибочно полагать, что правила теории игр к ним неприменимы.

Пример

Максим обращается в банк в надежде получить кредит. Его кредитная история не идеальна: два года назад он шесть месяцев отказывался гасить другой заём. Сотрудник, который принимает документы, говорит, что, скорее всего, Максим кредит не получит.

Тогда Максим просит разрешения донести документы. Он приносит выписку из больницы, подтверждающую, что его отец в те полгода был серьёзно болен. Максим пишет заявление, где указывает причины задержки выплаты предыдущего заёма (деньги нужны были на лечение отца). И через некоторое время получает новый кредит.

Что делать

Когда вы ведёте дела с обезличенными игроками, всегда помните, что за ними скрываются личности. Придумывайте, как втянуть соперников в игру, и устанавливайте свои правила.

Теория игр - новая наука, но её уже изучают в лучших университетах мира. В издательстве «МИФ» вышел учебник «Стратегические игры». Он пригодится, если вы хотите научиться анализировать каждое своё действие, принимать взвешенные решения, лучше понимать не только других, но и себя.

Для человека, не являющегося экспертом в политике, Брюс Буэно де Мескита из Университета Нью-Йорка делает удивительно точные событий. Ему удалось с точностью до нескольких месяцев предсказать уход со своих постов и Переверза Мушарафа. Он точно назвал приемника Аятоллы Хомейни на посту лидера Ирана за 5 лет до его смерти. На вопрос о том, в чем секрет, он отвечает, что ответа не знает - его знает игра. Под игрой здесь имеется в виду математический метод, который изначально был создан для формирования и анализа стратегий различных игр, а именно - теория игр. В экономике она используется наиболее часто. Хотя изначально она была разроботана для построения и анализа стратегий в играх, использующихся для развлечений.

Теория игры - это численный аппарат, позволяющий рассчитать сценарий, или, точнее, вероятность различных сценариев поведения системы или "игры", контролируемой различными факторами. Эти факторы, в свою очередь, определяются некоторым числом "игроков".

Таким образом, теория игр, в экономике получившая главный толчок к развитию, может применятся в самых разных областях человеческой деятельности. Пока рано говорить о том, чтобы эти программы применялись для разрешения военных конфлмктов, но в будущем это вполне реально.

Использование математических методов, к числу которых относится теория игр, в анализе экономических процессов позволяет выявить такие тенденции, взаимосвязи, которые остаются скрытыми при применении других методов.

В экономической действительности на каждом шагу встречаются ситуации, когда отдельные люди, фирмы или целые страны пытаются обойти друг друга в борьбе за первенство. Такими ситуациями и занимается ветвь экономического анализа, называемая "теория игр".

"Теория игр изучает то, каким образом двое или более игроков выбирают отдельные действия или целые стратегии. Название этой теории настраивает на несколько отвлеченный лад, поскольку оно ассоциируется с игрой в шахматы и бридж или с ведением войн. На самом деле выводы этой дисциплины весьма глубоки. Теория игр была разработана выходцем из Венгрии, гениальным математиком Джоном фон Нейманом (1903-1957). Эта теория сравнительно молодая математическая дисциплина.

В дальнейшем теория игр была дополнена такими разработками, как равновесие Нэша (по имени математика Джона Нэша). Равновесие по Нэшу возникает, когда ни один из игроков не может улучшить своего положения, если его противники не изменят своих стратегий. Стратегия каждого игрока является лучшим ответом на стратегию его противника. Иногда равновесие по Нэшу называют также некооперативным равновесием, поскольку участники совершают свой выбор, не вступая ни в какие соглашения друг с другом и не принимая во внимание никаких других соображений (интересы общества или интересы других сторон), кроме собственной выгоды.

Равновесие совершенно конкурентного рынка также является равновесием по Нэшу, или некооперативным равновесием, при котором каждая фирма и каждый потребитель принимают решения исходя из уже существующих цен как не зависящих от его воли. Мы уже знаем, что в условиях, когда каждая фирма стремится максимизировать прибыль, а каждый потребитель - полезность, равновесие возникает, когда цены равны предельным издержкам, а прибыль - нулю. " Мамаева Л.Н. Институциональная экономика: Курс лекций - М.: Издательско-торговая корпорация «Дашков и К», 2012. - 200 с.

Вспомним концепцию "невидимой руки" Адама Смита: "Преследуя собственные интересы, он (индивид) часто в большей степени способствует процветанию общества, чем если бы он к этому сознательно стремился" Смит А. Исследование о природе и причинах богатства народов // Антология экономической классики. - М.: Эконов-ключ, 19931. Парадокс "невидимой руки" заключается в том, что, хотя каждый и действует как самостоятельная сила, в конечном итоге общество остается в выигрыше. При этом конкурентное равновесие является равновесием по Нэшу еще и в том смысле, что ни у кого нет повода изменять свою стратегию, если и все остальные придерживаются своей. В условиях совершенно конкурентной экономики некооперативное поведение является экономически эффективным с точки зрения интересов общества.

Напротив, когда члены некоторой группы решают кооперироваться и совместно прийти к монопольной цене, такое поведение нанесет ущерб экономической эффективности. Государство вынуждено создавать антимонопольное законодательство и тем самым урезонивать тех, кто пытается завысить цены и поделить рынок. Однако не всегда разобщенность в поведении является экономически эффективной. Соперничество между фирмами ведет к низким ценам и конкурентному объему производства. "Невидимая рука" оказывает почти волшебное воздействие на совершенно конкурентные рынки: эффективное распределение ресурсов происходит в результате действий индивидов, стремящихся к максимизации прибыли.

Однако во многих случаях некооперативное поведение приводит к экономической неэффективности или даже представляет угрозу для общества (например, гонка вооружений). Некооперативное поведение как со стороны США, так и со стороны СССР заставляло обе стороны вкладывать огромные средства в военную область и привело к созданию арсенала, состоящего из почти 100000 ядерных боеголовок. Существует также опасение, что чрезмерная доступность оружия в Америке может стать причиной своего рода внутренней гонки вооружений. Одни люди вооружают себя против других - и этот "бег наперегонки" может продолжаться до бесконечности. Здесь в действие вступает вполне "видимая рука", направляющая это разрушительное состязание и не имеющая ничего общего с "невидимой рукой" Адама Смита. Еще один важный экономический пример - "игры в загрязнения" (окружающей среды). Здесь объектом нашего внимания станет такой вид побочных эффектов, как загрязнение. Если бы фирмы никогда и никого не спрашивали о том, как им поступить, любая из них скорее предпочла бы создавать загрязнения, чем устанавливать дорогостоящие очистители. Если же какая-нибудь фирма из благородных побуждений решилась бы уменьшить вредные выбросы, то издержки, а следовательно, и цены на ее продукцию, возросли бы, а спрос упал. Вполне возможно, эта фирма просто обанкротилась бы. Живущие в жестоком мире естественного отбора, фирмы скорее предпочтут оставаться в условиях равновесия по Нэшу Ни одной фирме не удастся повысить прибыль, уменьшая загрязнение.

Вступив в смертоносную экономическую игру, каждая неконтролируемая государством и максимизирующая прибыль сталелитейная фирма будет производить загрязнения воды и воздуха. Если какая-либо фирма попытается очищать свои выбросы, то тем самым она будет вынуждена повысить цены и потерпеть убытки. Некооперативное поведение установит равновесие по Нэшу в условиях высоких выбросов. Правительство может предпринять меры, с тем чтобы равновесие переместилось. В этом положении загрязнение будет незначительным, прибыли же останутся теми же. Мамаева Л.Н. Институциональная экономика: Курс лекций - М.: Издательско-торговая корпорация «Дашков и К», 2012. - 203 с.

Игры в загрязнения - один из случаев того, как механизм действия "невидимой руки" не срабатывает. Это ситуация, когда равновесие по Нэшу неэффективно. Иногда подобные неконтролируемые игры становятся угрожающими, и здесь может вмешаться правительство. Установив систему штрафов и квот на выбросы, правительство может побудить фирмы выбрать исход, соответствующий низкому уровню загрязнения. Фирмы зарабатывают ровно столько же, сколько и прежде, при больших выбросах, мир же становится несколько чище.

Теория игр применима и к макроэкономической политике. Экономисты и политики в США часто поругивают существующую денежно-кредитную и налогово-бюджетную политику: дефицит федерального бюджета слишком велик и уменьшает национальные сбережения, тогда как кредитно-денежная политика порождает такие процентные ставки, которые ограничивают инвестиции. Более того, этот "бюджетно-денежный синдром" является свойством макроэкономического "ландшафта" уже более десяти лет. Почему же Америка так упорно проводит оба вида политики, хотя ни один из них нежелателен?

Можно попытаться объяснить этот синдром с точки зрения теории игр. Стало привычным в современной экономике разделять данные разновидности политики. Центральный банк Америки - Федеральная резервная система - определяет независимо от правительства денежно-кредитную политику, назначая процентные ставки. Налогово-бюджетной политикой, налогами и расходами - заведуют законодательные и исполнительные власти. Однако каждый из этих видов политики имеет разные цели. Центральный банк стремится ограничить рост предложения денег и обеспечить низкие темпы инфляции.

Артур Берне, специалист по экономическим циклам и бывший глава ФРС, писал: "Чиновники центрального банка склонны, в силу традиции, а возможно, и в силу личного склада, держать цены в узде. Их ненависть к инфляции еще более разгорается после общения с единомышленниками из частных финансовых кругов". Власти же, заведующие налогово-бюджетной политикой, больше озабочены такими вопросами, как полная занятость, собственная популярность, сохранение низких налогов и грядущие выборы.

Лица, проводящие налогово-бюджетную политику, предпочитают минимально возможную величину безработицы, увеличение государственных расходов в сочетании с понижением налогов и не заботятся об инфляции и частных инвестициях.

В бюджетно-денежной игре кооперативная стратегия приводит к умеренной инфляции и безработице в сочетании с большим объемом инвестиций, стимулирующим экономический рост. Однако желание уменьшить безработицу и реализовать социальные программы побуждает руководство страны прибегать к увеличению бюджетного дефицита, тогда как неприятие инфляции заставляет центральный банк поднимать процентные ставки. Некооперативное равновесие означает наименьший возможный объем инвестиций.

Они выбирают "большой бюджетный дефицит". С другой стороны, центральный банк пытается уменьшить инфляцию, не подвержен влиянию профсоюзов и лоббирующих группировок и выбирает "высокие процентные ставки". Результатом является некооперативное равновесие с умеренными величинами инфляции и безработицы, но с низким уровнем инвестиций.

Возможно, что именно благодаря "бюджетно-денежной игре" президент Клинтон выдвинул экономическую программу по уменьшению бюджетного дефицита, снижению процентных ставок и расширению объема инвестиций.

Существуют разные способы описания игр. Один из них состоит в том, что рассматриваются все возможные стратегии игроков и определяются платежи, соответствующие любой возможной комбинации стратегий игроков. Игра, описанная таким способом, называется игрой в нормальной форме.

Нормальная форма игры двух участников состоит из двух платежных матриц, показывающих, какую сумму получит каждый из игроков при любой из возможных пар стратегий. Обычно эти матрицы выражают в форме единой матрицы, которую называют биматрицей. Элементами биматрицы являются пары чисел, первое из которых определяет величину выигрыша первого игрока, а второе - величину выигрыша второго. Первый игрок (государство) выбирает одну из m стратегий, при этом каждой стратегии соответствует строка матрицы I (i= 1,…,m). Второй игрок (бизнес) выбирает одну из n стратегий, при этом каждой стратегии соответствует столбец матрицы j (j= 1,…,n). Пара чисел на пересечении строки и столбца, которые соответствуют стратегиям, выбранным игроками, показывает величину выигрыша каждого из них. В общем случае, если игрок I выбирает стратегию i а игрок II - стратегию j, то выигрыши первого и второго игроков соответственно равны и (i= 1,…,m; j= 1,…,n), где m,n - число конечных стратегий соответственно игроков I и II. Предполагается, что каждому из игроков известны все элементы биматрицы выигрышей. В этом случае их стратегия называется определенной и имеет конечное число вариантов.

Если игроку неизвестны какие-либо варианты стратегий противника (элементы матрицы), то игра называется неопределенной и может иметь бесконечное число вариантов (стратегий).

Существуют и другие классы игр, где игроки выигрывают и проигрывают одновременно.

Антагонистические игры двух лиц связаны с тем, что один из игроков выигрывает ровно столько, сколько проигрывает другой. В таких играх интересы ее игроков прямо противоположны друг другу.

В качестве примера рассмотрим игру, в которой участвуют два игрока, каждый из них имеет по две стратегии. Выигрыши каждого из игроков определяются такими правилами: если оба игрока выбирают стратегии с одинаковыми номерами (игрок I - , игрок II -), то первый игрок выигрывает, а второй проигрывает (государство повышает налоги - бизнес платит их, т.е. выигрыш государства определяет проигрыш бизнеса); если оба игрока выбирают разные стратегии (игрок I - і 1 игрок II - j 2 то первый проигрывает, а второй выигрывает (государство повышает налоги на бизнес - бизнес уклоняется от них; проигрыш государства - выигрыш бизнеса).

Теория игр есть теория математических моделей таких явлений, в которых участники ("игроки") имеют различные интересы и располагают для достижения своих целей более или менее свободно выбираемыми путями (стратегиями). В большинстве работ по теории игр предполагается, что интересы участников игры поддаются количественному измерению и являются вещественными функциями ситуаций, т.е. набором стратегий, получаемых при выборе каждым из игроков некоторой своей стратегии. Для получения результатов необходимо рассматривать те или иные классы игр, выделенные некоторыми ограничительными предположениями. Такие ограничения можно накладывать несколькими путями.

Можно выделить несколько способов (путей) наложения ограничений.

1. Ограничения возможностей взаимоотношений игроков между собой. Простейшим случаем является такой, когда игроки действуют совершенно разобщено и не могут сознательно помогать или мешать друг другу действием или бездействием, информацией или дезинформацией. Такое положение дел неизбежно наступает, когда в игре участвуют только два игрока (государство и бизнес), имеющие диаметрально противоположные интересы: увеличение выигрыша одного из них означает уменьшение выигрыша другого, и притом на ту же сумму, при условии, что выигрыши обоих игроков выражаются в одинаковых единицах измерения. Не нарушая общности, можно принять суммарный выигрыш обоих игроков равным нулю и трактовать выигрыш одного из них как проигрыш другого.

Эти игры называют антагонистическими (или играми с нулевой суммой, или нулевыми играми двух лиц). Они предполагают, что никаких взаимоотношений между игроками, никаких компромиссов, обменов информацией и другими ресурсами не может быть по самой своей природе вещей, по сути игры, поскольку каждое сообщение, получаемое игроком о намерениях другого, может лишь увеличить выигрыш первого игрока и тем самым увеличить проигрыш его противника.

Таким образом, сделаем вывод, что в антагонистических играх игрокам можно не иметь непосредственных взаимоотношений и вместе с тем находиться в состоянии игры (противостоянии) по отношению друг к другу.

2. Ограничения или упрощающие предположения на множестве стратегий игроков. В наиболее простом случае эти множества стратегий конечны, что устраняет ситуации, связанные с возможными совпадениями (сходимостями) в множествах стратегий, избавляет от необходимости вводить на множествах какую-либо технологию.

Игры, в которых множества стратегий каждого из игроков конечны, называются конечными играми.

3. Предложения о внутреннем строении каждой стратегии, т.е. о ее содержании. Так, например, в качестве стратегий можно рассматривать функции времени (непрерывного или дискретного), значениями которых являются действия игрока в соответствующий момент. Эти и подобные им игры принято называть динамическими (позиционными).

Ограничениями стратегий игроков могут быть и их целевые функции, т.е. определение тех целей, на реализацию которых направлена та или иная стратегия. Можно предположить, что ограничения на стратегию связаны и со способами достижения этих целей в тех или иных временных интервалах, например стремление бизнеса добиться снижения размеров обязательных продаж валютной выручки в течение ближайших трех месяцев (или одного года). Если же предположений о природе стратегий не делается, то они считаются некоторым абстрактным множеством. Такого рода игры в самой простой постановке вопроса называются играми в нормальной форме.

Конечные антагонистические игры в нормальной форме называются матричными. Это название объясняется возможностью следующей интерпретации игр такого типа. Будем понимать стратегии первого игрока (игрок I - государство) как строки некоторой матрицы, а стратегии второго игрока (игрок II - бизнес) - как ее столбцы. Для краткости стратегиями игроков называют не сами строки или столбцы матрицы, а их номера. Тогда ситуациями игры оказываются клетки этой матрицы, стоящие на пересечениях каждой строки с каждым из столбцов. Заполнив эти клетки-ситуации числами, описывающими выигрыши игрока I в этих ситуациях, мы завершим задание игры. Полученная матрица называется матрицей выигрыша игры, или матрицей игры. Ввиду антагонистичности матричной игры выигрыш игрока II в каждой ситуации вполне определяется выигрышем игрока I в этой ситуации, отличаясь от него только знаком. Поэтому дополнительных указаний о функции выигрыша игрока II в матричной игре не требуется.

Матрицу, имеющую m строк и n столбцов, называют (m*n) - матрицей, а игру с этой матрицей - (m*n) - игрой.

Процесс (m*n) - игры с матрицей можно представить следующим образом:

Игрок I фиксирует номер строки i, а игрок II - номер столбца j, после чего первый игрок получает от своего противника сумму

Целью игрока I в матричной игре является получение максимального выигрыша, цель игрока II состоит в том, чтобы дать игроку I минимальный выигрыш.

Пусть игрок I (государство) выбирает некоторую свою стратегию i. Тогда в наихудшем случае он получит выигрыш min . В теории игр игроки предполагаются осторожными, рассчитывающими на наименее благоприятный для себя поворот событий.

Такое наименее благоприятное для игрока I положение дел может наступить, например, в том случае, когда стратегия i станет известной игроку II (бизнес). Предвидя такую возможность, игрок I должен выбирать свою стратегию так, чтобы максимизировать этот минимальный выигрыш:

min = max min (I)

Значение, стоящее в правой части равенства, является гарантированным выигрышем игрока I. Игрок II (бизнес) должен выбрать такую стратегию, что

max = min max (II)

Значение, стоящее в правой части равенства, является выигрышем игрока I, больше которого он при правильных действиях противника получить не может.

Фактический выигрыш игрока I должен при разумных действиях партнеров находиться в интервале между значениями выигрыша в первом и втором случаях. Если эти значения равны, то выигрыш игрока I является вполне определенным числом, сами игры называются вполне определенными. Выигрыш игрока I называется значением игры, и он равен элементу матрицы.

У игроков могут быть дополнительные возможности - выбор своих стратегий случайно и независимо друг от друга (стратегии соответствуют строкам и столбцам матрицы). Случайный выбор игроком своих стратегий называется смешанной стра тегии этого игрока. В (m*n) - игрё смешанные стратегии игрока I определяются наборами вероятностей: X = (,…), с которыми этот игрок выбирает свои первоначальные, чистые стратегии.

В основе теории матричных игр лежит теорема Неймана активных стратегиях: "Если один из игроков придерживается своей оптимальной стратегии, то выигрыш остается неизменным и равным цене игры независимо от того, что делает другой игрок, если он не выходит за пределы своих активных стратегий (т.е. пользуется любой из них в чистом виде или смешивает их в любых пропорциях" Neumann J. Contributions to the theory of games. 1995.. - 155 с.). Отметим, что активной называется чистая стратегия игрока, входящая в его оптимальную смешанную стратегию с отличной от нуля вероятностью.

Главная цель игры - нахождение оптимальной стратегии для обоих игроков, если не с максимальным выигрышем одного из них, то тогда с минимальным проигрышем для обоих. Метод нахождения оптимальных стратегий дает часто больше, чем это необходимо для практических целей. В матричной игре не обязательно, чтобы игрок знал все свои оптимальные структуры, поскольку они все взаимозаменяемы и игроку для успешной игры, достаточно знать одну из них. Поэтому применительно к матричным играм актуальным является вопрос о нахождении хотя бы одной оптимальной стратегии для каждого из игроков.

Основная теорема о матричных играх устанавливает существование значения игры и оптимальных смешанных стратегий для обоих игроков. Оптимальная стратегия не обязана быть единичной. Это очень важный вывод, полученный на основе теории игр.

Для играющего в матричную игру субъекта характерны следующие качества:

элементы матрицы интерпретируются как денежные платежи и соответственно их выигрыш и проигрыш оцениваются в денежной форме;

каждый из игроков применяет к этим элементам функцию полезности;

в игре каждый игрок действует так, как если бы функция полезности его оппонента оказывала на матрицу точно такое же воздействие, т.е. каждый смотрит на игру "со своей колокольни".

Эти предположения приводят к играм с нулевой суммой, в которых возникают отношения кооперирования, торгов и другого типа взаимодействий между игроками как до начала игры, так и в ее процессе. Мамаева Л.Н. Институциональная экономика: Курс лекций - М.: Издательско-торговая корпорация «Дашков и К», 2012. - 210 - 211с.

Обобщение теории игр, имеющее целью включение в нее других возможностей анализа, приводит к интересным, но достаточно трудным задачам. При развитии теории игр необходимо применять функцию полезности не только к денежным исходам, но и к суммам с ожидаемыми будущими исходами. Эти предположения являются спорными, но они существуют. В данном случае мы исходим из того, что это предположение о подобной операции имеет сходство с поведением игроков в определенных ситуациях принятия решений и допускает возможность, что способ ведения игры данным игроком зависит от состояния его капитала во время ведения им игры.

Рассмотрим это на следующем примере. Пусть первый игрок к моменту начала игры G обладает капиталом в x долларов. Тогда его капитал в конце игры будет равен + x, где - получаемый им от игры фактический выигрыш. Полезность, которую он приписывает такому исходу, равна f (+ х), где f - функция полезности.

Эти несколько примеров иллюстрируют только часть огромного разнообразия результатов, которые можно получить, используя теорию игр. Данный раздел экономической теории является чрезвычайно полезным (для экономистов и других представителей общественных наук) инструментом анализа ситуаций, при которых небольшое число людей хорошо информировано и пытается перехитрить друг друга на рынках, в сфере политики или в военных действиях.

Из популярного американского блога Cracked.

Теория игр занимается тем, что изучает способы сделать лучший ход и в результате получить как можно больший кусок выигрышного пирога, оттяпав часть его у других игроков. Она учит подвергать анализу множество факторов и делать логически взвешенные выводы. Я считаю, её нужно изучать после цифр и до алфавита. Просто потому что слишком многие люди принимают важные решения, основываясь на интуиции, тайных пророчествах, расположении звёзд и других подобных. Я тщательно изучил теорию игр, и теперь хочу рассказать вам о её основах. Возможно, это добавит здравого смысла в вашу жизнь.

1. Дилемма заключенного

Берто и Роберт были арестованы за ограбление банка, не сумев правильно использовать для побега угнанный автомобиль. Полиция не может доказать, что именно они ограбили банк, но поймала их с поличным в украденном автомобиле. Их развели по разным комнатам и каждому предложили сделку: сдать сообщника и отправить его за решетку на 10 лет, а самому выйти на свободу. Но если они оба сдадут друг друга, то каждый получит по 7 лет. Если же никто ничего не скажет, то оба сядут на 2 года только за угон автомобиля.

Получается, что, если Берто молчит, но Роберт сдает его, Берто садится в тюрьму на 10 лет, а Роберт выходит на свободу.

Каждый заключенный - игрок, и выгода каждого может быть представлена в виде «формулы» (что получат они оба, что получит другой). Например, если я ударю тебя, моя выигрышная схема будет выглядеть так (я получаю грубую победу, ты страдаешь от сильной боли). Поскольку у каждого заключенного есть два варианта, мы можем представить результаты в таблице.

Практическое применение: Выявление социопатов

Здесь мы видим основное применение теории игр: выявление социопатов, думающих лишь о себе. Настоящая теория игр - это мощный аналитический инструмент, а дилетантство часто служит красным флагом, с головой выдающим человека, лишенного понятия чести. Люди, делающие расчеты интуитивно, считают, что лучше поступить некрасиво, потому что это приведет к более короткому тюремному сроку независимо от того, как поступит другой игрок. Технически это правильно, но только если вы недальновидный человек, ставящий цифры выше человеческих жизней. Именно поэтому теория игра так популярна в сфере финансов.

Настоящая проблема дилеммы заключенного в том, что она игнорирует данные. Например, в ней не рассматривается возможность вашей встречи с друзьями, родственниками, или даже кредиторами человека, которого вы посадили в тюрьму на 10 лет.

Хуже всего то, что все участники дилеммы заключенного действуют так, как будто никогда не слышали ней.

А лучший ход - хранить молчание, и через два года вместе с хорошим другом пользоваться общими деньгами.

2. Доминирующая стратегия

Это ситуация, при которой ваши действия дают наибольший выигрыш, независимо от действий оппонента. Что бы ни происходило - вы всё сделали правильно. Вот почему многие люди при «дилемме заключенного» считают: предательство приводит к «наилучшему» результату независимо от того, что делает другой человек, а игнорирование действительности, свойственное этому методу, заставляет всё выглядеть супер-просто.

Большинство игр, в которые мы играем, не имеет строго доминирующих стратегий, потому что иначе они были бы просто ужасны. Представьте, что вы всегда делали бы одно и то же. В игре «камень-ножницы-бумага» нет никакой доминирующей стратегии. Но если бы вы играли с человеком, у которого на руках надеты прихватки, и он мог показать только камень или бумагу, у вас была бы доминирующая стратегия: бумага. Ваша бумага обернет его камень или приведет к ничьей, и вы не сможете проиграть, потому что соперник не может показать ножницы. Теперь, когда у вас есть доминирующая стратегия, нужно быть дураком, чтобы попробовать что-нибудь другое.

3. Битва полов

Игры интереснее, когда у них нет строго доминирующей стратегии. Например, битва полов. Анджали и Борислав идут на свидание, но не могут выбрать между балетом и боксом. Анджали любит бокс, потому что ей нравится, когда льется кровь на радость орущей толпе зрителей, считающих себя цивилизованными только потому, что они заплатили за чьи-то разбитые головы.

Борислав хочет смотреть балет, потому что он понимает, что балерины проходят через огромное количество травм и сложнейших тренировок, зная, что одна травма может положить конец всему. Артисты балета - величайшие спортсмены на Земле. Балерина может ударить вас ногой в голову, но никогда этого не сделает, потому что ее нога стоит гораздо дороже вашего лица.

Каждый из них хочет пойти на своё любимое мероприятие, но они не хотят наслаждаться им в одиночестве, таким образом, получаем схему их выигрыша: наибольшее значение - делать то, что им нравится, наименьшее значение - просто быть с другим человеком, и ноль - быть в одиночестве.

Некоторые люди предлагают упрямо балансировать на грани войны: если вы, несмотря ни на что, делаете то, что хотите, другой человек должен подстроиться под ваш выбор или потерять все. Как я уже говорил, упрощённая теория игр отлично выявляет глупцов.

Практическое применение: Избегайте острых углов

Конечно, и у этой стратегии есть свои значительные недостатки. Прежде всего, если вы относитесь к вашим свиданиям как к «битве полов», она не сработает. Расстаньтесь, чтобы каждый из вас мог найти человека, который ему понравится. А вторая проблема заключается в том, что в этой ситуации участники настолько не уверены в себе, что не могут этого сделать.

По-настоящему выигрышная стратегия для каждого - делать то, что они хотят, а после, или на следующий день, когда они будут свободны, пойти вместе в кафе. Или же чередовать бокс и балет, пока в мире развлечений не произойдет революция и не будет изобретен боксерский балет.

4. Равновесие Нэша

Равновесие Нэша - это набор ходов, где никто не хочет сделать что-то по-другому после свершившегося факта. И если мы сможем заставить это работать, теория игр заменит всю философскую, религиозную, и финансовую систему на планете, потому что «желание не прогореть» стало для человечества более мощной движущей силой, чем огонь.

Давайте быстро поделим 100$. Вы и я решаем, сколько из сотни мы требуем и одновременно озвучиваем суммы. Если наша общая сумма меньше ста, каждый получает то, что хотел. Если общее количество больше ста, тот, кто попросил наименьшее количество, получает желаемую сумму, а более жадный человек получает то, что осталось. Если мы просим одинаковую сумму, каждый получает 50 $. Сколько вы попросите? Как вы разделите деньги? Существует единственный выигрышный ход.

Требование 51 $ даст вам максимальную сумму независимо от того, что выберет ваш противник. Если он попросит больше, вы получите 51 $. Если он попросит 50 $ или 51 $, вы получите 50 $. И если он попросит меньше 50 $, вы получите 51 $. В любом случае нет никакого другого варианта, который принесет вам больше денег, чем этот. Равновесие Нэша - ситуация, в которой мы оба выбираем 51 $.

Практическое применение: сначала думайте

В этом вся суть теории игр. Не обязательно выиграть и тем более навредить другим игрокам, но обязательно сделать лучший для себя ход, независимо от того, что подготовят для вас окружающие. И даже лучше, если этот ход будет выгоден и для других игроков. Это своего рода математика, которая могла бы изменить общество.

Интересный вариант этой идеи - распитие спиртного, которое можно назвать Равновесием Нэша с временной зависимостью. Когда вы достаточно много пьете, то не заботитесь о поступках других людей независимо от того, что они делают, но на следующий день вы очень жалеете, что не поступили иначе.

5. Игра в орлянку

В орлянке участвуют Игрок 1 и Игрок 2. Каждый игрок одновременно выбирает орла или решку. Если они угадывают, Игрок 1 получает пенс Игрока 2. Если же нет - Игрок 2 получает монету Игрока 1.

Выигрышная матрица проста…

…оптимальная стратегия: играйте полностью наугад. Это сложнее, чем вы думаете, потому что выбор должен быть абсолютно случайным. Если у вас есть предпочтения орла или решки, противник может использовать его, чтобы забрать ваши деньги.

Конечно, настоящая проблема здесь заключается в том, что было бы намного лучше, если бы они просто бросали один пенс друг в друга. В результате их прибыль была бы такой же, а полученная травма могла бы помочь этим несчастным людям почувствовать что-то, кроме ужасной скуки. Ведь это худшая игра из существующих когда-либо. И это идеальная модель для серии пенальти.

Практическое применение: Пенальти

В футболе, хоккее и многих других играх, дополнительное время - это серия пенальти. И они были бы интереснее, если бы строились на том, сколько раз игроки в полной форме смогут сделать «колесо», потому что это, по крайней мере, было бы показателем их физических способностей и на это было бы забавно посмотреть. Вратари не могут чётко определить движение мяча или шайбы в самом начале их движения, потому что, к огромному сожалению, в наших спортивных состязаниях роботы все еще не участвуют. Вратарь должен выбрать левое или правое направление и надеяться, что его выбор совпадет с выбором противника, бьющего по воротам. В этом есть что-то общее с игрой в монетку.

Однако обратите внимание, что это не идеальный пример сходства с игрой в орла и решку, потому что даже при правильном выборе направления вратарь может не поймать мяч, а нападающий может не попасть по воротам.

Итак, каково же наше заключение согласно теории игр? Игры с мячом должны заканчиваться способом «мультимяча», где каждую минуту игрокам один на один выводится дополнительный мяч/шайба, до получения одной из сторон определенного результата, который был показателем настоящего мастерства игроков, а не эффектным случайным совпадением.

В конце концов, теория игр должна использоваться для того, чтобы сделать игру умнее. А значит лучше.

Теория игр - теория математических моделей принятия оптимальных решений в условиях конфликта. Поскольку стороны, участвующие в большинстве конфликтов, заинтересованы в том, чтобы скрыть от противника свои намерения, принятия решений в условиях конфликта, как правило, происходит в условиях неопределенности. Наоборот, фактор неопределенности можно интерпретировать как противника субъекта, принимающего решение (тем самым принятие решений в условиях неопределенности можно понимать как принятие решений в условиях конфликта). В частности, многие утверждения математической статистики естественным образом формулируются как теоретико-игровые.

Теория игр - раздел прикладной математики, который используется в социальных науках (всего в экономике), биологии, политических науках, компьютерных науках (главным образом для искусственного интеллекта) и философии. Теория игр пытается математически зафиксировать поведение в стратегических ситуациях , в которых успех субъекта, делающего выбор зависит от выбора других участников. Если сначала развивался анализ игры, в которых один из противников выигрывает за счет других (игры с нулевой суммой), то впоследствии начали рассматривать широкий класс взаимодействий, которые были классифицированы по определенным критериям. На сегодняшний день «теория игр то вроде зонтика или универсальной теории для рациональной стороны социальных наук, где социальные можем понимать широко, включая как человеческих так не-человеческих игроков (компьютеры, животные, растения)» (Роберт Ауманн, 1987)

Эта отрасль математики получила определенное отражение в массовой культуре. В 1998 году американская писательница и журналисткаСильвия Назар опубликовала книгу о жизни Джона Нэша, нобелевского лауреата по экономике за достижения в теории игр, а в 2001 по мотивам книги снят фильм «Игры разума». (Таким образом, теория игр - одна из немногих отраслей математики в которой можно получить Нобелевскую премию). Некоторые американские телевизионные шоу, например, Friend or Foe , Alias или NUMBERS периодически используют в своих выпусках теорию игр.

Джон Нэш - математик,нобелевский лауреат известен широкой общественности благодаря фильму Игры разума.

Понятие теории игр

Логической основой теории игр является формализация трех понятий, входящих в ее определение и являются фундаментальными для всей теории:

  • Конфликт,
  • Принятие решения в конфликте,
  • Оптимальность принятого решения.

Эти понятия рассматриваются в теории игр в самом широком смысле. Их формализации отвечают содержательным представлением о соответствующих объектах.

Если назвать участников конфликта коалициями действия (обозначив их множество как D, возможные действия каждой из коалиции действия - ее стратегиями (множество всех стратегий коалиции действия K обозначается как S ), результаты конфликта - ситуациями (множество всех ситуаций обозначается как S ; считается, что каждая ситуация складывается вследствие выбора каждой из коалиций действия некоторой своей стратегии, так, что ), заинтересованные стороны - коалициями интересов (их множество - I) и, наконец, говорить о возможных преимуществах для каждой коалиции интересов K одной ситуации s " перед другим s "(этот факт обозначается как ), то конфликт в целом может быть описан как система

.

Такая система, представляющая конфликт, называется игрой . Конкретизации составляющих, задающих игру, приводят к различным классам игр.

Классификация игр

Отдельными классами бескоалиционный игр есть:

  • антагонистические игры, включая матричные игры и игры на единичном квадрате.
  • динамичные игры, в том числе дифференциальные игры,
  • рекурсивные игры,
  • игры на выживание

и другие, также относятся к бескоалиционный игр.

Математический аппарат

Теория игр широко использует различные математические методы и результаты теории вероятностей, классического анализа, функционального анализа (особенно важны теоремы о неподвижные точки), комбинаторной топологии, теории дифференциальных и интегральных уравнений, и другие. Специфика теории игр способствует разработке разнообразных математических направлений (например, теория выпуклых множеств, линейное программирование, и т.д.).

Принятием решения в теории игр считается выбор коалицией действия, или, в частности, выбор игроком некоторой своей стратегии. Этот выбор можно представить себе в виде одноразового действия и возводить формально к выбору элемента из множества. Игры с таким пониманием выбора стратегий называются играми в нормальной форме . Им противопоставляются динамичные игры, в которых выбор стратегии является процессом, который происходит в течение некоторого времени, которое сопровождается расширением и сужением возможностей, получением и потерей информации о текущем состоянии дел, и т.п.. Формально, стратегией в такой игре есть функция, определенная на множестве всех информационных состояний субъекта, принимающего решения. Некритическое использование «свободы выбора» стратегий может приводить к парадоксальным явлениям.

Оптимальность и развязки

Вопрос о формализации понятия оптимальности является весьма сложным. Единое представление об оптимальности в теории игр отсутствует, поэтому приходится рассматривать несколько принципов оптимальности. Область возможности применения каждого из принципов оптимальности, используемых в теории игр, ограничивается сравнительно узкими классами игры, или же касается ограниченных аспектов их рассмотрения.

В основе каждого из этих принципов лежат некоторые интуитивные представления о оптимум, как о чем-то «устойчивое», или «справедливое». Формализация этих представлений дает требованиях, предъявляемых к оптимуму и имеющих характер аксиом.

Среди этих требований могут оказаться такие, которые противоречат друг другу (например, можно показать конфликты, в которых стороны вынуждены довольствоваться малыми выигрышами, поскольку крупных выигрышей можно достичь только в условиях неопределенных ситуаций); поэтому в теории игр не может быть сформулирован единый принцип оптимальности.

Ситуации (или множества ситуаций), которые удовлетворяют в некоторой игре те или иные требования оптимальности, называются решениями этой игры. Так как представление об оптимальности не однозначны, имело развязки игр в разных смыслах. Создание определений решений игры, доведение их существования и разработка путей их фактического поиска - три основные вопросы современной теории игр. Близкими к ним есть вопросы о единственности решений игр, о существовании в тех или иных классах игр решений, которые имеют некоторые заранее определенные свойства.

История

Как математическая дисциплина, теория игр зародилась одновременно с теорией вероятностей в 17 веке, но в течение почти 300 лет почти не развивалась. Первой существенной работой по теории игр следует считать статью Дж. фон Неймана «К теории стратегических игр» (1928), а с выходом в свет монографии американских математиков Дж. фон Неймана и О. Моргенштерна «Теория игр и экономическое поведение» (1944), теория игр сформировалась как самостоятельная математическая дисциплина. В отличие от других отраслей математики, имеющих преимущественно физическое, или физико-технологическое происхождение, теория игр с самого начала своего развития была направлена на решение задач, возникающих в экономике (а именно в конкурентной экономике).

В дальнейшем, идеи, методы и результаты теории игр стали применять в других областях знаний, имеющих дело с конфликтами: в военном деле, в вопросах морали, при изучении массового поведения индивидов, имеющих различные интересы (например, в вопросах миграции населения, или при рассмотрении биологической борьбы за существование). Теоретико-игровые методы принятия оптимальных решений в условиях неопределенности могут иметь широкое применение в медицине, в экономическом и социальном планировании и прогнозировании, в ряде вопросов науки и техники. Иногда теорию игр относят к математическому аппарату кибернетики, или теории исследования операций.