Реклама на портале

Сумма противоположных сторон описанного четырехугольника. Описанный четырёхугольник

Определение 2

Многоугольник, удовлетворяющий условию определения 1, называется описанным около окружности.

Рисунок 1. Вписанная окружность

Теорема 1 (об окружности, вписанной в треугольник)

Теорема 1

В любой треугольник можно вписать окружность и притом только одну.

Доказательство.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Проведем в нем биссектрисы, которые пересекаются в точке $O$ и проведем из нее перпендикуляры на стороны треугольника (Рис. 2)

Рисунок 2. Иллюстрация теоремы 1

Существование: Проведем окружность с центром в точке $O$ и радиусом $OK.\ $Так как точка $O$ лежит на трех биссектрисах, то она равноудалена от сторон треугольника $ABC$. То есть $OM=OK=OL$. Следовательно, построенная окружность также проходит через точки $M\ и\ L$. Так как $OM,OK\ и\ OL$ - перпендикуляры к сторонам треугольника, то по теореме о касательной к окружности, построенная окружность касается всех трех сторон треугольника. Следовательно, в силу произвольности треугольника, в любой треугольник можно вписать окружность.

Единственность: Предположим, что в треугольник $ABC$ можно вписать еще одну окружность с центром в точке $O"$. Её центр равноудален от сторон треугольника, а, следовательно, совпадает с точкой $O$ и имеет радиус, равный длине $OK$. Но тогда эта окружность совпадет с первой.

Теорема доказана.

Следствие 1: Центр вписанной в треугольник окружности лежит в точке пересечения его биссектрис.

Приведем еще несколько фактов, связанных с понятием вписанной окружности:

    Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность.

    В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.

    Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

Определение 3

Если на окружности лежат все вершины многоугольника, то окружность называется описанной около многоугольника (Рис. 3).

Определение 4

Многоугольник, удовлетворяющий условию определения 2, называется вписанным в окружность.

Рисунок 3. Описанная окружность

Теорема 2 (об окружности, описанной около треугольника)

Теорема 2

Около любого треугольника можно описать окружность и притом только одну.

Доказательство.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Проведем в нем серединные перпендикуляры, пересекающиеся в точке $O$, и соединим ее с вершинами треугольника (рис. 4)

Рисунок 4. Иллюстрация теоремы 2

Существование: Построим окружность с центром в точке $O$ и радиусом $OC$. Точка $O$ равноудалена от вершин треугольника, то есть $OA=OB=OC$. Следовательно, построенная окружность проходит через все вершины данного треугольника, значит, она является описанной около этого треугольника.

Единственность: Предположим, что около треугольника $ABC$ можно описать еще одну окружность с центром в точке $O"$. Её центр равноудален от вершин треугольника, а, следовательно, совпадает с точкой $O$ и имеет радиус, равный длине $OC.$ Но тогда эта окружность совпадет с первой.

Теорема доказана.

Следствие 1: Центр описанной около треугольника окружности совпадает с точкой пересечения его серединных перпендикуляров.

Приведем еще несколько фактов, связанных с понятием описанной окружности:

    Около четырехугольника не всегда можно описать окружность.

    В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна ${180}^0$.

    Если сумма противоположных углов четырехугольника равна ${180}^0$, то около него можно описать окружность.

Пример задачи на понятия вписанной и описанной окружности

Пример 1

В равнобедренном треугольнике основание равно 8 см, боковая сторона равна 5 см. Найти радиус вписанной окружности.

Решение.

Рассмотрим треугольник $ABC$. По следствию 1, мы знаем, что центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис. Проведем биссектрисы $AK$ и $BM$, которые пересекаются в точке $O$. Проведем перпендикуляр $OH$ из точки $O$ на сторону $BC$. Изобразим рисунок:

Рисунок 5.

Так как треугольник равнобедренный, то $BM$ и медиана и высота. По теореме Пифагора ${BM}^2={BC}^2-{MC}^2,\ BM=\sqrt{{BC}^2-\frac{{AC}^2}{4}}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3$. $OM=OH=r$ -- искомый радиус вписанной окружности. Так как $MC$ и $CH$ отрезки пересекающихся касательных, то по теореме о пересекающихся касательных, имеем $CH=MC=4\ см$. Следовательно, $BH=5-4=1\ см$. $BO=3-r$. Из треугольника $OHB$, по теореме Пифагора, получим:

\[{(3-r)}^2=r^2+1\] \ \ \

Ответ: $\frac{4}{3}$.

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Вам понадобится

  • - четырехугольник с заданными параметрами;
  • - циркуль;
  • - линейка;
  • - транспортир;
  • - калькулятор;
  • - лист бумаги.

Инструкция

Измерьте все углы данного вам четырехугольника. Найдите суммы противолежащих углов. Вписать четырехугольник в окружность можно только в том случае, если суммы противоположных углов равны 180°. Таким образом, построить описанную окружность всегда можно вокруг квадрата, и трапеции.

Начертите окружность с радиусом R. Определите ее центр. Как , он обозначается О. Найдите на самой окружности произвольную точку и назовите ее любой буквой. Допустим, это будет точка А. Ваши дальнейшие действия от того, именно четырехугольник вам дан. У квадрата диагонали перпендикулярны друг другу и являются радиусами описанной окружности. Поэтому постройте два диаметра, угол между которыми составляет 90°. Точки их пересечения с окружность ю последовательно соедините прямыми линиями.

Чтобы вписать прямоугольник, вам нужно знать угол между диагоналями или же размеры сторон. Во втором случае угол можно будет , использовав теоремы Пифагора, синусов или косинусов. Проведите один из диаметров. Обозначьте его, например, точками А и С. От точки О, которая одновременно является и серединой диагонали, отложите угол между диагоналями. Через центр и новую точку проведите второй диаметр. Точно так же, как и в случае с квадратом, соедините последовательно точки пересечения диаметров с окружность ю.

Для построения равнобедренной трапеции найдите на окружности произвольную точку. Постройте от нее хорду, равную верхнему или нижнему основанию. Найдите ее середину и проведите через нее и центр окружности диаметр, перпендикулярный . Отложите на диаметре высоты трапеции. Через эту точку проведите перпендикуляр в обе стороны до пересечения с окружность ю. Соедините попарно концы .

Полезный совет

При построении вписанных многоугольников в программе AutoCAD сначала найдите в главном меню выпадающее окно "Рисование", а в нем - функцию "Многоугольник". Количество сторон квадрата выставляется сразу. После того, как он появится на экране, перейдите к функции "Вписанный/описанный многоугольник". Нужное построение тут же появится на экране.

Для построения в этой программе трапеции или прямоугольника найдите координаты точки пересечения диагоналей. Она же будет являться и центром описанной окружности.

Трапецией называют плоскую четырехугольную фигуру, две стороны которой (основания) параллельны, а две другие (боковые стороны) обязательно должны быть не параллельны. Если все четыре вершины трапеции лежат на одной окружности, этот четырехугольник называется вписанным в нее. Построить такую фигуру несложно.

Вам понадобится

  • Бумага, карандаш, угольник, циркуль.

Инструкция

Если никаких дополнительных требований к вписанной трапеции нет, вы можете стороны любой длины. Поэтому начните построение с произвольной , например, в нижней левой четверти . Обозначьте ее буквой А - здесь будет одна из вершин вписанной в окружность трапеции.

Проведите горизонтальную линию, начинающуюся в А и заканчивающуюся в месте пересечения с окружность ю в нижней правой . Это место пересечение обозначьте буквой В. Построенный отрезок АВ - это нижнее основание трапеции.

Любым удобным способом начертите параллельный нижнему основанию отрезок, выше центра . Например, если в вашем распоряжении есть , это можно сделать так: приложите его к основанию АВ и начертите вспомогательную перпендикулярную линию. Затем приложите инструмент к вспомогательной линии выше центра круга и начертите перпендикуляры в обе стороны от нее, заканчивая каждый на пересечении с окружность ю. Эти два перпендикуляра должны лежать на одной и тогда они образуют верхнее основание трапеции. Левую крайнюю точку этого основания обозначьте буквой D, а правую - буквой С.

Если угольника нет, но есть циркуль, то построение верхнего основания будет еще проще. Поставьте на левой верхней четверти окружности произвольную точку. Единственное условие - она не должна располагаться строго вертикально над точкой А, иначе построенная фигура будет квадратом. Обозначьте точку буквой D и отложите на циркуле расстояние между точками А и D. Затем установите циркуль в точку В и в правой верхней четверти окружности отметьте точку, соответствующую отложенному расстоянию. Обозначьте ее буквой С и начертите верхнее основание, соединив точки D и С.

Начертите боковые стороны вписанной трапеции, проведя отрезки АD и ВС.

Видео по теме

Согласно определению, описанная окружность должна проходить через все вершины углов заданного многоугольника. При этом совершенно неважно, что это за многоугольник - треугольник, квадрат, прямоугольник, трапеция или что-то иное. Также не играет роли, правильный или неправильный это многоугольник. Необходимо лишь учитывать, что существуют многоугольники, вокруг которых окружность описать нельзя. Всегда можно описать окружность вокруг треугольника. Что касается четырехугольников, то окружность можно описать около квадрата или прямоугольника или равнобедренной трапеции.

Вам понадобится

  • Заданный многоугольника
  • Линейка
  • Угольник
  • Карандаш
  • Циркуль
  • Транспортир
  • Таблицы синусов и косинусов
  • Математические понятия и формулы
  • Теорема Пифагора
  • Теорема синусов
  • Теорема косинусов
  • Признаки подобия треугольников

Инструкция

Постройте многоугольник с заданными параметрами и , можно ли описать вокруг него окружность . Если вам дан четырехугольник, посчитайте суммы его противоположных углов. Каждая из них должна равняться 180°.

Для того, чтобы описать окружность , нужно вычислить ее радиус. Вспомните, где лежит центр окружности в разных многоугольниках. В треугольнике он в точке пересечения всех высот данного треугольника. В квадрате и прямоугольники - в точке пересечения диагоналей, для трапеции- в точке пересечения оси симметрии к линии, соединяющей середины боковых сторон, а для любого другого выпуклого многоугольника - в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам.

Диаметр окружности, описанной вокруг квадрата и прямоугольника, вычислите по теореме Пифагора. Он будет равняться квадратному корню из суммы квадратов сторон прямоугольника. Для квадрата, у которого все стороны равны, диагональ равна квадратному корню из удвоенного квадрата стороны. Разделив диаметр на 2, получаете радиус.

Вычислите радиус описанной окружности для треугольника. Поскольку параметры треугольника заданы в условиях, вычислите радиус по формуле R = a/(2·sinA), где а - одна из сторон треугольника, ? - противолежащий ей угол. Вместо этой стороны можно взять сторону и противолежащий ей угол.

Вычислите радиус окружности, описанной вокруг трапеции. R = a*d*c / 4 v(p*(p-a)*(p-d)*(p-c)) В этой формуле a и b - известные по условиям основания трапеции, h - высота, d - диагональ, p = 1/2*(a+d+c) . Вычислите недостающие значения. Высоту можно вычислить по теореме синусов или косинусов, длины сторон трапеции и углы заданы в условиях . Зная высоту и учитывая подобия треугольников, вычислите диагональ. После этого останется вычислить радиус по указанной выше формуле.

Видео по теме

Полезный совет

Чтобы вычислить радиус окружности, описанной вокруг другого многоугольника, выполните ряд дополнительных построений. Получите более простые фигуры, параметры которых вам известны.

Задача вписать в окружность многоугольник нередко может поставить взрослого человека в тупик. Ребенку-школьнику необходимо объяснить ее решение, поэтому родители отправляются в серфинг по всемирной паутине в поисках решения.

Инструкция

Начертите окружность . Поставьте иголку циркуля на сторону окружности, при этом радиус не изменяйте. Проводите две дуги, перекрещивающие окружность , поворачивая циркуль вправо и влево.

Переместите иголку циркуля по окружности в точку пересечения с ней дуги. Снова поворачиваете циркуль и прочерчиваете еще две дуги, пересекая контур окружности. Данную процедуру повторяете до пересечения с первой точкой.

Нарисуйте окружность . Проведите диаметр через ее центр, линии должна быть горизонтальной. Постройте перпендикуляр к через центр окружности, получите вертикальную линию (СВ, например).

Разделите радиус пополам. Отметьте эту точку на линии диаметра (обозначьте ее А). Постройте окружность с центром в точке А и радиусом АС. При пересечении с горизонтальной линией вы получите еще одну точку (D, например). В результате отрезок СD будет являться стороной пятиугольника, который требуется вписать.

Откладывайте полуокружности, радиус которых равен CD, по контуру окружности. Таким образом, исходная окружность будет поделена на пять равных частей. Соедините точки линейкой. Задача по вписыванию пятиугольника в окружность также выполнена.

Далее описывается по вписыванию в окружность квадрата. Проведите линию диаметра . Возьмите транспортир. Поставьте его в точку пересечения диаметра со стороной окружности. Растворите циркуль на длину радиуса.

Проведите две дуги до пересечения с окружность ю, поворачивая циркуль в одну и другую сторону. Переставьте ножку циркуля в противоположную точку и проведите еще две дуги тем же раствором. Соедините полученные точки.

Возведите диаметр в квадрат, разделите на два и извлеките корень. В итоге получите сторону квадрата, который легко впишется в окружность . Растворите циркуль на эту длину. Ставьте его иголку на окружность и рисуйте дугу, пересекающую одну сторону окружности. Перемещайте ножку циркуля в полученную точку. Снова проведите дугу.

Повторите процедуру и нарисуйте еще две точки. Соедините все четыре точки. Это более простой способ вписать квадрат в окружность .

Рассмотрите задачу по вписыванию в окружность . Нарисуйте окружность . Возьмите точку произвольно на окружности - она будет вершиной треугольника. От этой точки, сохраняя циркуля, проведите дугу до пересечения с окружность ю. Это будет вторая вершина. Из нее аналогичным способом постройте третью вершину. Соедините точки линейкой. Решение найдено.

Видео по теме

Вписать квадрат в окружность легко можно с помощью чертежных инструментов. Но эта задача решается даже при полном их отсутствии. Необходимо только помнить некоторые свойства квадрата.

Вам понадобится

  • -циркуль
  • -карандаш
  • -угольник
  • -ножницы

Инструкция

Нарисуйте к задаче. Очевидно, что диаметр окружности является диагональю вписанного в эту . Вспомните известное свойство квадрата: его диагонали взаимно перпендикулярны. Используйте эту взаимосвязь диагоналей при построении заданного квадрата.

Начертите в окружности диаметр. Из центра с помощью угольника проведите второй диаметр под углом 90 градусов к первому. Соедините точки пересечения перпендикулярных диаметров с окружностью и получите вписанный в эту окружность квадрат.

Если из чертежных инструментов у вас имеется только циркуль, начертите окружность. Отметьте на окружности произвольную точку и проведите через нее диаметр с помощью с ровным краем. Теперь нужно с помощью циркуля разделить половину окружности между концами диаметра на две равные части. Из точек пересечения диаметра с окружностью сделайте две засечки, сохраняя неизменным раствор циркуля. Через точку пересечения этих засечек и центр окружности проведите второй диаметр. Очевидно, что он будет перпендикулярен первому.

Если чертежных инструментов у вас нет, можно вырезать круг, ограниченный заданной окружностью. Сложите вырезанную фигуру точно пополам. Повторите операцию. Нужно совместить концы линии сгиба, тогда криволинейные участки совпадут без дополнительных усилий. Зафиксируйте линии сложения. Теперь разверните круг. Линии сгибов отчетливо видны. Загните сегменты круга между точками пересечения линий сгибов с окружностью и отрежьте эти сегменты. Линии отреза являются сторонами искомого квадрата. Поместите вырезанный квадрат в заданную окружность, совместив ее центр с точкой пересечения линий сгиба круга. Вершины квадрата окажутся лежащими на окружности, что и требовалось выполнить.

Окружность называется вписанной в многоугольник, если она полностью размещается внутри этого многоугольника. Каждая сторона описанной фигуры имеет с окружностью общую точку.

Примерами описанных четырёхугольников могут служить дельтоиды , которые включают ромбы , которые, в свою очередь, включают квадраты . Дельтоиды - это в точности те описанные четырёхугольники, которые также являются ортодиагональными . Если четырёхугольник является описанным и вписанным четырёхугольником , он называется бицентральным .

Свойства

В описанном четырёхугольнике четыре биссектрисы пересекаются в центре окружности. И наоборот, выпуклый четырёхугольник, в котором четыре биссектрисы пересекаются в одной точке, должен быть описанным, и точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности .

Если противоположные стороны в выпуклом четырёхугольнике ABCD (не являющийся трапецией) пересекаются в точках E и F , то они являются касательными к окружности тогда и только тогда, когда

B E + B F = D E + D F {\displaystyle \displaystyle BE+BF=DE+DF} A E − E C = A F − F C . {\displaystyle \displaystyle AE-EC=AF-FC.}

Второе равенство почти то же, что и равенство в теореме Уркхарта . Разница только в знаках - в теореме Уркхарта суммы, а здесь разности (см. рисунок справа).

Другое необходимое и достаточное условие - выпуклый четырёхугольник ABCD является описанным в том и только в том случае, когда вписанные в треугольники ABC и ADC окружности касаются друг друга .

Описание по углам, образованным диагональю BD со сторонами четырёхугольника ABCD , принадлежит Иосифеску (Iosifescu). Он в 1954 доказал, что выпуклый четырёхугольник имеет вписанную окружность тогда и только тогда, когда

tan ⁡ ∠ A B D 2 ⋅ tan ⁡ ∠ B D C 2 = tan ⁡ ∠ A D B 2 ⋅ tan ⁡ ∠ D B C 2 . {\displaystyle \tan {\frac {\angle ABD}{2}}\cdot \tan {\frac {\angle BDC}{2}}=\tan {\frac {\angle ADB}{2}}\cdot \tan {\frac {\angle DBC}{2}}.} R a R c = R b R d {\displaystyle R_{a}R_{c}=R_{b}R_{d}} ,

где R a , R b , R c , R d являются радиусами окружностей, внешне касательным сторонам a , b , c , d соответственно и продолжениям смежных сторон с каждой стороны .

Некоторые другие описания известны для четырёх треугольников, образованных диагоналями.

Специальные отрезки

Восемь отрезков касательных описанного четырёхугольника являются отрезками между вершинами и точками касания на сторонах. В каждой вершине имеется два равных касательных отрезка.

Точки касания образуют вписанный четырёхугольник.

Площадь

Нетригонометрические формулы

K = 1 2 p 2 q 2 − (a c − b d) 2 {\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {p^{2}q^{2}-(ac-bd)^{2}}}} ,

дающая площадь в терминах диагоналей p , q и сторон a , b , c , d касательного четырёхугольника.

Площадь можно представить также в терминах касательных отрезков (см. выше). Если их обозначить через e , f , g , h , то касательный четырёхугольник имеет площадь

K = (e + f + g + h) (e f g + f g h + g h e + h e f) . {\displaystyle K={\sqrt {(e+f+g+h)(efg+fgh+ghe+hef)}}.}

Более того, площадь касательного четырёхугольника можно выразить в терминах сторон a, b, c, d и соответствующих длин касательных отрезков e, f, g, h

K = a b c d − (e g − f h) 2 . {\displaystyle K={\sqrt {abcd-(eg-fh)^{2}}}.}

Поскольку eg = fh в том и только в том случае, когда он также является вписанным, получаем, что максимальная площадь a b c d {\displaystyle {\sqrt {abcd}}} может достигаться только на четырёхугольниках, которые являются и описанными, и вписанными одновременно.

Тригонометрические формулы

K = a b c d sin ⁡ A + C 2 = a b c d sin ⁡ B + D 2 . {\displaystyle K={\sqrt {abcd}}\sin {\frac {A+C}{2}}={\sqrt {abcd}}\sin {\frac {B+D}{2}}.}

Для заданного произведения сторон площадь будет максимальной, когда четырёхугольник является также вписанным . В этом случае K = a b c d {\displaystyle K={\sqrt {abcd}}} , поскольку противоположные углы являются дополнительными . Это можно доказать и другим способом, используя математический анализ .

Ещё одна формула площади описанного четырёхугольника ABCD , использующая два противоположных угла

K = (O A ⋅ O C + O B ⋅ O D) sin ⁡ A + C 2 {\displaystyle K=\left(OA\cdot OC+OB\cdot OD\right)\sin {\frac {A+C}{2}}} ,

где O является центром вписанной окружности.

Фактически площадь можно выразить в терминах лишь двух смежных сторон и двух противоположных углов

K = a b sin ⁡ B 2 csc ⁡ D 2 sin ⁡ B + D 2 . {\displaystyle K=ab\sin {\frac {B}{2}}\csc {\frac {D}{2}}\sin {\frac {B+D}{2}}.} K = 1 2 | (a c − b d) tan ⁡ θ | , {\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}|(ac-bd)\tan {\theta }|,}

где θ угол (любой) между диагоналями. Формула неприменима к случаю дельтоидов, поскольку в этом случае θ равен 90° и тангенс не определён.

Неравенства

Как упомянуто было вскользь выше, площадь касательного многоугольника со сторонами a , b , c , d удовлетворяет неравенству

K ≤ a b c d {\displaystyle K\leq {\sqrt {abcd}}}

и равенство достигается тогда и только тогда, когда четырёхугольник является бицентральным .

Согласно Т. А. Ивановой (1976), полупериметр s описанного четырёхугольника удовлетворяет неравенству

s ≥ 4 r {\displaystyle s\geq 4r} ,

где r - радиус вписанной окружности. Неравенство превращается в равенство тогда и только тогда, когда четырёхугольник является квадратом . Это означает, что для площади K = rs , выполняется неравенство

K ≥ 4 r 2 {\displaystyle K\geq 4r^{2}}

с переходом в равенство в том и только в том случае, когда четырёхугольник - квадрат.

Свойства частей четырёхугольника

Четыре отрезка прямых между центром вписанной окружности и точками касания делят четырёхугольник на четыре прямоугольных дельтоида .

Если прямая делит описанный четырёхугольник на два многоугольника с равными площадями и равными периметрами , то эта линия проходит через инцентр .

Радиус вписанной окружности

Радиус вписанной окружности описанного четырёхугольника со сторонами a , b , c , d задаётся формулой

r = K s = K a + c = K b + d {\displaystyle r={\frac {K}{s}}={\frac {K}{a+c}}={\frac {K}{b+d}}} ,

где K - площадь четырёхугольника, а s - полупериметр. Для описанных четырёхугольников с заданным полупериметром радиус вписанной окружности максимален, когда четырёхугольник является одновременно и вписанным .

В терминах отрезков касательных радиус вписанной окружности .

r = e f g + f g h + g h e + h e f e + f + g + h . {\displaystyle \displaystyle r={\sqrt {\frac {efg+fgh+ghe+hef}{e+f+g+h}}}.}

Радиус вписанной окружности модно выразить также в терминах расстояния от инцентра O до вершин описанного четырёхугольника ABCD . Если u = AO , v = BO , x = CO и y = DO , то

r = 2 (σ − u v x) (σ − v x y) (σ − x y u) (σ − y u v) u v x y (u v + x y) (u x + v y) (u y + v x) {\displaystyle r=2{\sqrt {\frac {(\sigma -uvx)(\sigma -vxy)(\sigma -xyu)(\sigma -yuv)}{uvxy(uv+xy)(ux+vy)(uy+vx)}}}} ,

где σ = 1 2 (u v x + v x y + x y u + y u v) {\displaystyle \sigma ={\tfrac {1}{2}}(uvx+vxy+xyu+yuv)} .

Формулы для углов

Если e , f , g и h отрезки касательных от вершин A , B , C и D соответственно к точкам касания окружности четырёхугольником ABCD , то углы четырёхугольника можно вычислить по формулам

sin ⁡ A 2 = e f g + f g h + g h e + h e f (e + f) (e + g) (e + h) , {\displaystyle \sin {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {efg+fgh+ghe+hef}{(e+f)(e+g)(e+h)}}},} sin ⁡ B 2 = e f g + f g h + g h e + h e f (f + e) (f + g) (f + h) , {\displaystyle \sin {\frac {B}{2}}={\sqrt {\frac {efg+fgh+ghe+hef}{(f+e)(f+g)(f+h)}}},} sin ⁡ C 2 = e f g + f g h + g h e + h e f (g + e) (g + f) (g + h) , {\displaystyle \sin {\frac {C}{2}}={\sqrt {\frac {efg+fgh+ghe+hef}{(g+e)(g+f)(g+h)}}},} sin ⁡ D 2 = e f g + f g h + g h e + h e f (h + e) (h + f) (h + g) . {\displaystyle \sin {\frac {D}{2}}={\sqrt {\frac {efg+fgh+ghe+hef}{(h+e)(h+f)(h+g)}}}.}

Угол между хордами KM и LN задаётся формулой (см. рисунок)

sin ⁡ φ = (e + f + g + h) (e f g + f g h + g h e + h e f) (e + f) (f + g) (g + h) (h + e) . {\displaystyle \sin {\varphi }={\sqrt {\frac {(e+f+g+h)(efg+fgh+ghe+hef)}{(e+f)(f+g)(g+h)(h+e)}}}.}

Диагонали

Если e , f , g и h являются отрезками касательных от A , B , C и D до точек касания вписанной окружности четырёхугольником ABCD , то длины диагоналей p = AC и q = BD равны

p = e + g f + h ((e + g) (f + h) + 4 f h) , {\displaystyle \displaystyle p={\sqrt {{\frac {e+g}{f+h}}{\Big (}(e+g)(f+h)+4fh{\Big)}}},} q = f + h e + g ((e + g) (f + h) + 4 e g) . {\displaystyle \displaystyle q={\sqrt {{\frac {f+h}{e+g}}{\Big (}(e+g)(f+h)+4eg{\Big)}}}.}

Хорды точек касания

Если e , f , g и h являются отрезками от вершин до точек касания, то длины хорд до противоположных точек касания равны

k = 2 (e f g + f g h + g h e + h e f) (e + f) (g + h) (e + g) (f + h) , {\displaystyle \displaystyle k={\frac {2(efg+fgh+ghe+hef)}{\sqrt {(e+f)(g+h)(e+g)(f+h)}}},} l = 2 (e f g + f g h + g h e + h e f) (e + h) (f + g) (e + g) (f + h) , {\displaystyle \displaystyle l={\frac {2(efg+fgh+ghe+hef)}{\sqrt {(e+h)(f+g)(e+g)(f+h)}}},}

где хорда k соединяет стороны с длинами a = e + f и c = g + h , а хорда l соединяет стороны длиной b = f + g и d = h + e . Квадрат отношения хорд удовлетворяет соотношению

k 2 l 2 = b d a c . {\displaystyle {\frac {k^{2}}{l^{2}}}={\frac {bd}{ac}}.}

Две хорды

Хорда между сторонами AB и CD в описанном четырёхугольнике ABCD длиннее, чем хорда между сторонами BC и DA тогда и только тогда, когда средняя линия между сторонами AB и CD короче, чем средняя линия между сторонами BC и DA .

Если описанный четырёхугольник ABCD имеет точки касания M на AB и N на CD и хорда MN пересекает диагональ BD в точке P , то отношение отрезков касательных B M D N {\displaystyle {\tfrac {BM}{DN}}} равно отношению B P D P {\displaystyle {\tfrac {BP}{DP}}} отрезков диагонали BD .

Коллинеарные точки

Если M 1 и M 2 являются серединами диагоналей AC и BD соответственно в описанном четырёхугольнике ABCD O , а пары противоположных сторон пересекаются в точках E и F и M 3 - середина отрезка EF , тогда точки M 3 , M 1 , O , и M 2 лежат на одной прямой Прямая, соединяющая эти точки, называется прямой Ньютона четырёхугольника.

E и F , а продолжения противоположных сторон четырёхугольника, образованного точками касания, пересекаются в точках T и S , то четыре точки E , F , T и S лежат на одной прямой

AB , BC , CD , DA в точках M , K , N и L соответственно, и если T M , T K , T N , T L являются изотомически сопряжёнными точками этих точек (то есть AТ M = BM и т.д.), то точка Нагеля определяется как пересечение прямых T N T M и T K T L . Обе эти прямые делят периметр четырёхугольника на две равные части. Однако важнее то, что точка Нагеля Q , "центроид площади" G и центр вписанной окружности O лежат на одной прямой, и при этом QG = 2GO . Эта прямая называется прямой Нагеля описанного четырёхугольника .

В описанном четырёхугольнике ABCD с центром вписанной окружности O P , пусть H M , H K , H N , H L являются ортоцентрами треугольников AOB , BOC , COD и DOA соответственно. Тогда точки P , H M , H K , H N и H L лежат на одной прямой.

Конкурентные и перпендикулярные прямые

Две диагонали четырёхугольника и две хорды, соединяющие противоположные точки касания (противоположные вершины вписанного четырёхугольника), конкурентны (т.е. пересекаются в одной точке). Для того, чтобы показать это, можно воспользоваться частным случаем теоремы Брианшона , которая утверждает, что шестиугольник, все стороны которого касаются коническое сечение , имеет три диагонали, пересекающиеся в одной точке. Из описанного четырёхугольника легко получить шестиугольник с двумя углами по 180° путём вставки двух новых вершина противоположных точках касания. Все шесть сторон полученного шестиугольника являются касательными вписанной окружности, так что его диагонали пересекаются в одной точке. Но две диагонали шестиугольника совпадают с диагоналями четырёхугольника, а третья диагональ проходит через противоположные точки касания. Повторив те же рассуждения для двух других точек касания, получим требуемый результат.

Если вписанная окружность касается сторон AB , BC , CD и DA в точках M , K , N , L соответственно, то прямые MK , LN и AC конкурентны.

Если продолжения противоположных сторон описанного четырёхугольника пересекаются в точках E и F , а диагонали пересекаются в точке P , то прямая EF перпендикулярна продолжению OP , где O - центр вписанной окружности .

Свойства вписанной окружности

Отношения двух противоположных сторон описанного четырёхугольника можно выразить через расстояния от центра вписанной окружности O до соответствующих сторон

A B C D = O A ⋅ O B O C ⋅ O D , B C D A = O B ⋅ O C O D ⋅ O A . {\displaystyle {\frac {AB}{CD}}={\frac {OA\cdot OB}{OC\cdot OD}},\quad \quad {\frac {BC}{DA}}={\frac {OB\cdot OC}{OD\cdot OA}}.}

Произведение двух смежных сторон описанного четырёхугольника ABCD с центром вписанной окружности O удовлетворяет соотношению

A B ⋅ B C = O B 2 + O A ⋅ O B ⋅ O C O D . {\displaystyle AB\cdot BC=OB^{2}+{\frac {OA\cdot OB\cdot OC}{OD}}.}

Если O - центр вписанной окружности четырёхугольника ABCD , то

O A ⋅ O C + O B ⋅ O D = A B ⋅ B C ⋅ C D ⋅ D A . {\displaystyle OA\cdot OC+OB\cdot OD={\sqrt {AB\cdot BC\cdot CD\cdot DA}}.}

Центр вписанной окружности O совпадает с "центроидом вершин" четырёхугольника в том и только в том случае, когда

O A ⋅ O C = O B ⋅ O D . {\displaystyle OA\cdot OC=OB\cdot OD.}

Если M 1 и M 2 являются серединами диагоналей AC и BD соответственно, то

O M 1 O M 2 = O A ⋅ O C O B ⋅ O D = e + g f + h , {\displaystyle {\frac {OM_{1}}{OM_{2}}}={\frac {OA\cdot OC}{OB\cdot OD}}={\frac {e+g}{f+h}},}

где e , f , g и h - отрезки касательных в вершинах A , B , C и D соответственно. Комбинируя первое равенство с последним, получим, что "центроид вершин" описанного четырёхугольника совпадает с центом вписанной окружности тогда и только тогда, когда центр вписанной окружности лежит посередине между средними точками диагоналей.

1 r 1 + 1 r 3 = 1 r 2 + 1 r 4 . {\displaystyle {\frac {1}{r_{1}}}+{\frac {1}{r_{3}}}={\frac {1}{r_{2}}}+{\frac {1}{r_{4}}}.}

Это свойство было доказано пятью годами ранее Вайнштейном . В решении его задачи похожее свойство было дано Васильевым и Сендеровым. Если через h M , h K , h N и h L обозначить высоты тех же треугольников (опущенных из пересечения диагоналей P ), то четырёхугольник является описанным тогда и только тогда, когда

1 h M + 1 h N = 1 h K + 1 h L . {\displaystyle {\frac {1}{h_{M}}}+{\frac {1}{h_{N}}}={\frac {1}{h_{K}}}+{\frac {1}{h_{L}}}.}

Ещё одно похожее свойство относится к радиусам вневписанных окружностей r M , r K , r N и r L для тех же четырёх треугольников (четыре вневписанные окружности касаются каждой из сторон четырёхугольника и продолжений диагоналей). Четырёхугольник является описанным в том и только в том случае, когда

1 r M + 1 r N = 1 r K + 1 r L . {\displaystyle {\frac {1}{r_{M}}}+{\frac {1}{r_{N}}}={\frac {1}{r_{K}}}+{\frac {1}{r_{L}}}.}

Если R M , R K , R N и R L - радиусы описанных окружностей треугольников APB , BPC , CPD и DPA соответственно, то треугольник ABCD является описанным тогда и только тогда, когда

R M + R N = R K + R L . {\displaystyle R_{M}+R_{N}=R_{K}+R_{L}.}

В 1996 Вайнштейн, похоже, был первым, кто доказал ещё одно замечательное свойство описанных четырёхугольников, которое позднее появилось в нескольких журналах и сайтах . Свойство утверждает, что если выпуклый четырёхугольников разделён на четыре неперекрывающихся треугольника его диагоналями, центры вписанных окружностей этих треугольников лежат на одной окружности тогда и только тогда, когда четырёхугольник является описанным. Фактически центры вписанных окружностей образуют ортодиагональный вписанный четырёхугоольник . Здесь вписанные окружности можно заменить на вневписанные (касающиеся стороны и продолжения диагоналей четырёхугольника). Тогда выпуклый четырёхугольник является описанным тогда и только тогда, когда центры вневписанных окружностей являются вершинами вписанного четырёхугольника .

Выпуклый четырёхугольник ABCD , в котором диагонали пересекаются в точке P , является описанным тогда и только тогда, когда четыре центра вневписанных окружностей треугольников APB , BPC , CPD и DPA лежат на одной окружности (здесь вневписанные окружности пересекают стороны четырёхугольника, в отличие от аналогичного утверждения выше, где вневписанные окружности лежат вне четырёхугольника). Если R m , R n , R k и R l - радиусы вневписанных окружностей APB , BPC , CPD и DPA соответственно, противоположных вершинам B и D , то ещё одним необходимым и достаточным условием того, что четырёхугольник является описанным, будет

1 R m + 1 R n = 1 R k + 1 R l . {\displaystyle {\frac {1}{R_{m}}}+{\frac {1}{R_{n}}}={\frac {1}{R_{k}}}+{\frac {1}{R_{l}}}.} m △ (A P B) + n △ (C P D) = k △ (B P C) + l △ (D P A) {\displaystyle {\frac {m}{\triangle (APB)}}+{\frac {n}{\triangle (CPD)}}={\frac {k}{\triangle (BPC)}}+{\frac {l}{\triangle (DPA)}}}

здесь m, k, n, l – длины сторон AB, BC, CD и DA, а ∆(APB ) - площадь треугольника APB .

Обозначим отрезки, на которые точка P делит диагональ AC как AP = p a и PC = p c . Аналогичным образом P делить диагональ BD на отрезки BP = p b и PD = p d . Тогда четырёхугольник является описанным тогда и только тогда, когда выполняется одно из равенств:

(m + p a − p b) (n + p c − p d) (m − p a + p b) (n − p c + p d) = (k + p c − p b) (l + p a − p d) (k − p c + p b) (l − p a + p d) . {\displaystyle {\frac {(m+p_{a}-p_{b})(n+p_{c}-p_{d})}{(m-p_{a}+p_{b})(n-p_{c}+p_{d})}}={\frac {(k+p_{c}-p_{b})(l+p_{a}-p_{d})}{(k-p_{c}+p_{b})(l-p_{a}+p_{d})}}.}

Условия для описанного четырёхугольника быть другим типом четырёхугольника .

Описанный четырёхугольник является бицентричным (т.е. описанным и вписанным одновременно) тогда и только тогда, когда радиус вписанной окружности наибольший среди всех описанных четырёхугольников, имеющих ту же самую последовательность длин сторон в том и только в том случае, когда любое из нижеследующих условий выполняется:

  • Площадь равна половине произведения диагоналей
  • Диагонали перпендикулярны
  • Два отрезка, соединяющие противоположные точки касания, имеют равные длины
  • Одна пара противоположных отрезков от вершины до точки касания имеют одинаковые длины
    • C.V. Durell, A. Robson. Advanced Trigonometry // Dover reprint. - 2003.
  • Victor Bryant, John Duncan. Wheels within wheels // Mathematical Gazette. - 2010. - Вып. 94, November .
  • Albrecht Hess. On a circle containing the incenters of tangential quadrilaterals // Forum Geometricorum. - 2014. - Т. 14 .
  • Wu Wei Chao, Plamen Simeonov. When quadrilaterals have inscribed circles (solution to problem 10698) // American Mathematical Monthly . - 2000. - Т. 107 , вып. 7 . - DOI :10.2307/2589133 .
  • Mowaffaq Hajja. A condition for a circumscriptible quadrilateral to be cyclic // Forum Geometricorum. - 2008. - Т. 8 .

Larry Hoehn. A new formula concerning the diagonals and sides of a quadrilateral. - 2011. - Т. 11 Т. 10 .

  • Martin Josefsson. When is a Tangential Quadrilateral a Kite? // Forum Geometricorum. - 2011a. - Т. 11 .
  • Martin Josefsson. More Characterizations of Tangential Quadrilaterals // Forum Geometricorum. - 2011b. - Т. 11 .
  • Martin Josefsson. The Area of a Bicentric Quadrilateral // Forum Geometricorum. - 2011c. - Т. 11 .
  • Martin Josefsson. Similar Metric Characterizations of Tangential and Extangential Quadrilaterals // Forum Geometricorum. - 2012. - Т. 12 .
  • Martin Josefsson. Characterizations of Orthodiagonal Quadrilaterals. - 2012b. - Т. 12 .
  • Nicusor Minculete. Characterizations of a Tangential Quadrilateral // Forum Geometricorum. - 2009. - Т. 9 .
  • Alexei Myakishev. On Two Remarkable Lines Related to a Quadrilateral // Forum Geometricorum. - 2006. - Т. 6 .
  • A.W. Siddons, R.T. Hughes. Trigonometry. - Cambridge Univ. Press, 1929.
  • И. Вайнштейн, Н. Васильев, В. Сендеров. (Решение задачи) M1495 // Квант. - 1995. - Вып. 6 .
  • Michael De Villiers. Equiangular cyclic and equilateral circumscribed polygons // Mathematical Gazette. - 2011. - Вып. 95, March .

    • «Описанная окружность» мы видели, что вокруг всякого треугольника можно описать окружность. То есть, для всякого треугольника найдётся такая окружность, что все три вершины треугольника «сидят» на ней. Вот так:

    Вопрос: а можно ли то же самое сказать о четырехугольнике? Правда ли, что всегда найдётся окружность, на которой будут «сидеть» все четыре вершины четырехугольника?

    Вот оказывается, что это НЕПРАВДА! НЕ ВСЕГДА четырехугольник можно вписать в окружность . Есть очень важное условие:

    На нашем рисунке:

    .

    Посмотри, углы и лежат друг напротив друга, значит, они противоположные. А что же тогда с углами и? Они вроде бы тоже противоположные? Можно ли вместо углов и взять углы и?

    Конечно, можно! Главное, чтобы у четырехугольника нашлись какие-то два противоположных угла, сумма которых будет. Оставшиеся два угла тогда сами собой тоже дадут в сумме. Не веришь? Давай убедимся. Смотри:

    Пусть. Помнишь ли ты, чему равна сумма всех четырех углов любого четырехугольника? Конечно, . То есть - всегда! . Но, → .

    Волшебство прямо!

    Так что запомни крепко-накрепко:

    Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма любых двух его противоположных углов равна

    и наоборот:

    Если у четырехугольника есть два противоположных угла, сумма которых равна, то такой четырехугольник вписанный.

    Доказывать всё это мы здесь не будем (если интересно, заглядывай в следующие уровни теории). Но давай посмотрим, к чему приводит этот замечательный факт о том, что у вписанного четырехугольника сумма противоположных углов равна.

    Вот, например, приходит в голову вопрос, а можно ли описать окружность вокруг параллелограмма? Попробуем сперва «методом тыка».

    Вот как-то не получается.

    Теперь применим знание:

    предположим, что нам как-то удалось посадить на параллелограмм окружность. Тогда непременно должно быть: , то есть.

    А теперь вспомним о свойствах параллелограмма:

    у всякого параллелограмма противоположные углы равны.

    У нас получилось, что

    А что же углы и? Ну, то же самое конечно.

    Вписанный → →

    Параллелограмм→ →

    Потрясающе, правда?

    Получилось, что если параллелограмм вписан в окружность, то все его углы равны, то есть это прямоугольник!

    И ещё при этом - центр окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей этого прямоугольника . Это, так сказать, в качестве бонуса прилагается.

    Ну, вот значит, выяснили, что параллелограмм, вписанный в окружность - прямоугольник .

    А теперь поговорим о трапеции. Что будет, если трапецию вписать в окружность? А оказывается, будет равнобедренная трапеция . Почему?

    Вот пусть трапеция вписана в окружность. Тогда опять, но из-за параллельности прямых и.

    Значит, имеем: → → трапеция равнобокая.

    Даже проще чем с прямоугольником, правда? Но запомнить нужно твёрдо - пригодиться:

    Давай ещё раз перечислим самые главные утверждения , касающиеся четырехугольника, вписанного в окружность:

    1. Четырехугольник вписан в окружность тогда и только тогда, когда сумма двух его противоположных углов равна
    2. Параллелограмм, вписанный в окружность - непременно прямоугольник и центр окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей
    3. Трапеция, вписанная в окружность - равнобокая.

    Вписанный четырехугольник. Средний уровень

    Известно, что для всякого треугольника существует описанная окружность (это мы доказывали в теме «Описанная окружность»). Что же можно сказать о четырёхугольнике? Вот, оказывается, что НЕ ВСЯКИЙ четырехугольник можно вписать в окружность , а есть такая теорема:

    Четырёхугольник вписан в окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна .

    На нашем рисунке -

    Давай попробуем понять, почему так? Другими словами, мы сейчас докажем эту теорему. Но прежде чем доказывать, нужно понять, как устроено само утверждение. Ты заметил в утверждении слова «тогда и только тогда»? Такие слова означают, что вредные математики впихнули два утверждения в одно.

    Расшифровываем:

    1. «Тогда» означает: Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма любых двух его противоположных углов равна.
    2. «Только тогда» означает: Если у четырёхугольника найдутся два противоположных угла, сумма которых равна, то такой четырехугольник можно вписать в окружность.

    Прямо как у Алисы: «думаю, что говорю» и «говорю, что думаю».

    А теперь разбираемся, отчего же верно и 1, и 2?

    Сначала 1.

    Пусть четырехугольник вписан в окружность. Отметим её центр и проведём радиусы и. Что же получится? Помнишь ли ты, что вписанный угол вдвое меньше соответствующего центрального? Если помнишь - сейчас применим, а если не очень - загляни в тему «Окружность. Вписанный угол» .

    Вписанный

    Вписанный

    Но посмотри: .

    Получаем, что если - вписанный, то

    Ну, и ясно, что и тоже в сумме составляет. (нужно так же рассмотреть и).

    Теперь и «наоборот», то есть 2.

    Пусть оказалось так, что у четырехугольника сумма каких - то двух противоположных углов равна. Скажем, пусть

    Мы пока не знаем, можем ли описать вокруг него окружность. Но мы точно знаем, что вокруг треугольника мы гарантированно окружность описать можем. Так и сделаем это.

    Если точка не «села» на окружность, то она неминуемо оказалась или снаружи или внутри.

    Рассмотрим оба случая.

    Пусть сначала точка - снаружи. Тогда отрезок пересекает окружность в какой-то точке. Соединим и. Получился вписанный (!) четырехугольник.

    Про него уже знаем, что сумма его противоположных углов равна, то есть, а по условию у нас.

    Получается, что должно бы быть так, что.

    Но это никак не может быть поскольку - внешний угол для и значит, .

    А внутри? Проделаем похожие действия. Пусть точка внутри.

    Тогда продолжение отрезка пересекает окружность в точке. Снова - вписанный четырехугольник, а по условию должно выполняться, но - внешний угол для и значит, то есть опять никак не может быть так, что.

    То есть точка не может оказаться ни снаружи, ни внутри окружности - значит, она на окружности!

    Доказали всю-всю теорему!

    Теперь посмотрим, какие же хорошие следствия даёт эта теорема.

    Следствие 1

    Параллелограмм, вписанный в окружность, может быть только прямоугольником.

    Давай-ка поймём, почему так. Пусть параллелограмм вписан в окружность. Тогда должно выполняться.

    Но из свойств параллелограмма мы знаем, что.

    И то же самое, естественно, касательно углов и.

    Вот и получился прямоугольник - все углы по.

    Но, кроме того, есть ещё дополнительный приятный факт: центр окружности, описанной около прямоугольника, совпадает с точкой пересечения диагоналей.

    Давай поймём почему. Надеюсь, ты отлично помнишь, что угол, опирающийся на диаметр - прямой.

    Диаметр,

    Диаметр

    а значит, - центр. Вот и всё.

    Следствие 2

    Трапеция, вписанная в окружность - равнобедренная.

    Пусть трапеция вписана в окружность. Тогда.

    И так же.

    Всё ли мы обсудили? Не совсем. На самом деле есть ещё один, «секретный» способ, как узнавать вписанный четырехугольник. Мы этот способ сформулируем не очень строго (но понятно), а докажем только в последнем уровне теории.

    Если в четырёхугольнике можно наблюдать такую картинку, как здесь на рисунке (тут углы, «смотрящие» на сторону из точек и, равны), то такой четырехугольник - вписанный.

    Это очень важный рисунок - в задачах часто бывает легче найти равные углы, чем сумму углов и.

    Несмотря на совершенное отсутствие строгости в нашей формулировке, она верна, и более того, всегда принимается проверяющими ЕГЭ. Ты должен писать примерно так:

    « - вписанный» - и всё будет отлично!

    Не забывай этот важный признак - запомни картинку, и, возможно, она тебе вовремя бросится в глаза при решении задачки.

    Вписанный четырехугольник. Краткое описание и основные формулы

    Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма любых двух его противоположных углов равна

    и наоборот:

    Если у четырехугольника есть два противоположных угла, сумма которых равна, то такой четырехугольник вписанный.

    Четырехугольник вписан в окружность тогда и только тогда, когда сумма двух его противоположных углов равна.

    Параллелограмм, вписанный в окружность - непременно прямоугольник , и центр окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей.

    Трапеция , вписанная в окружность - равнобокая .