Где косинус положительный а где отрицательный. Тригонометрический круг
Если вы уже знакомы с тригонометрическим кругом , и хотите лишь освежить в памяти отдельные элементы, или вы совсем нетерпеливы, – то вот он, :
Мы же здесь будем все подробно разбирать шаг за шагом.
Тригонометрический круг – не роскошь, а необходимость
Тригонометрия
у многих ассоциируется с непроходимой чащей. Вдруг наваливается столько значений тригонометрических функций, столько формул… А оно ведь, как, – незаладилось вначале, и… пошло-поехало… сплошное непонимание…
Очень важно не махать рукой на значения тригонометрических функций , – мол, всегда можно посмотреть в шпору с таблицей значений.
Если вы постоянно смотрите в таблицу со значениями тригонометрических формул, давайте избавляться от этой привычки!
Нас выручит ! Вы несколько раз поработаете с ним, и далее он у вас сам будет всплывать в голове. Чем он лучше таблицы? Да в таблице-то вы найдете ограниченное число значений, а на круге – ВСЕ!
К примеру, скажите, глядя в стандартную таблицу значений тригонометрических формул , чему равен синус, скажем, 300 градусов, или -45.
Никак?.. можно, конечно, подключить формулы приведения … А глядя на тригонометрический круг, легко можно ответить на такие вопросы. И вы скоро будете знать как!
А при решении тригонометрических уравнений и неравенств без тригонометрического круга – вообще никуда.
Знакомство с тригонометрическим кругом
Давайте по порядку.
Сначала выпишем вот такой ряд чисел:
А теперь такой:
И, наконец, такой:
Конечно, понятно, что, на самом-то деле, на первом месте стоит , на втором месте стоит , а на последнем – . То есть нас будет больше интересовать цепочка .
Но как красиво она получилась! В случае чего – восстановим эту «лесенку-чудесенку».
И зачем оно нам?
Эта цепочка – и есть основные значения синуса и косинуса в первой четверти.
Начертим в прямоугольной системе координат круг единичного радиуса (то есть радиус-то по длине берем любой, а его длину объявляем единичной).
От луча «0-Старт» откладываем в направлении стрелки (см. рис.) углы .
Получаем соответствующие точки на круге. Так вот если спроецировать точки на каждую из осей, то мы выйдем как раз на значения из указанной выше цепочки.
Это почему же, спросите вы?
Не будем разбирать все. Рассмотрим принцип , который позволит справиться и с другими, аналогичными ситуациями.
Треугольник АОВ – прямоугольный, в нем . А мы знаем, что против угла в лежит катет вдвое меньший гипотенузы (гипотенуза у нас = радиусу круга, то есть 1).
Значит, АВ= (а следовательно, и ОМ=). А по теореме Пифагора
Надеюсь, уже что-то становится понятно?
Так вот точка В и будет соответствовать значению , а точка М – значению
Аналогично с остальными значениями первой четверти.
Как вы понимаете, привычная нам ось (ox) будет осью косинусов , а ось (oy) – осью синусов . позже.
Слева от нуля по оси косинусов (ниже нуля по оси синусов) будут, конечно, отрицательные значения.
Итак, вот он, ВСЕМОГУЩИЙ , без которого никуда в тригонометрии.
А вот как пользоваться тригонометрическим кругом, мы поговорим в .
Синусом числа а называется ордината точки, изображающей это число на числовой окружности. Синусом угла в а радиан называется синус числа а .
Синус - функция числа x . Ее область определения
Область значений синуса - отрезок от -1 до 1 , так как любое число этого отрезка на оси ординат является проекцией какой-либо точки окружности, но никакая точка вне этого отрезка не является проекцией какой-либо из этих точек.
Период синуса
Знак синуса:
1. синус равен нулю при , где n - любое целое число;
2. синус положителен при , где n - любое целое число;
3. синус отрицателен при
Где n - любое целое число.
Синус
- функция нечетная
x
и -x
, то их ординаты - синусы - окажутся также противоположными. То есть 
для любого x
.
1. Синус возрастает на отрезках 
, где n
- любое целое число.
2. Cинус убывает на отрезке 
, где n
- любое целое число.
При 
;
при 
.
Косинус
Косинусом числа а называется абсцисса точки, изображающей это число на числовой окружности. Косинусом угла в а радиан называется косинус числа а .
Косинус - функция числа. Ее область определения - множество всех чисел, так как у любого числа можно найти ординату изображающей его точки.
Область значений косинуса - отрезок от -1 до 1 , так как любое число этого отрезка на оси абсцисс является проекцией какой-либо точки окружности, но никакая точка вне этого отрезка не является проекцией какой-либо из этих точек.
Период косинуса равен . Ведь через каждые положение точки, изображающей число, в точности повторяется.
Знак косинуса:
1. косинус равен нулю при , где n - любое целое число;
2. косинус положителен при 
, где n
- любое целое число;
3. косинус отрицателен при 
, где n
- любое целое число.
Косинус - функция четная . Во-первых, область определения этой функции есть множество всех чисел, а значит, симметрична относительно начала отсчета. А во-вторых, если отложить от начала два противоположных числа: x и -x , то их абсциссы - косинусы - окажутся равными. То есть
для любого x
.
1. Косинус возрастает на отрезках 
, где n
- любое целое число.
2. Косинус убывает на отрезках 
, где n
- любое целое число.
при ;
при 
.
Тангенс
Тангенсом числа называется отношение синуса этого числа к косинусу этого числа: .
Тангенсом угла в а радиан называется тангенс числа а .
Тангенс
- функция числа. Ее область определения
- множество всех чисел, у которых косинус не равен нулю, так как никаких других ограничений в определении тангенса нет. И так как косинус равен нулю при , то 
, где .
Область значений тангенса
Период тангенса x (не равные ), отличающиеся друг от друга на , и провести через них прямую, то эта прямая пройдет через начало координат и пересечет линию тангенсов в некоторой точке t . Вот и получится, что , то есть число является периодом тангенса.
Знак тангенса: тангенс - отношение синуса к косинусу. Значит, он
1. равен нулю, когда синус равен нулю, то есть при , где n - любое целое число.
2. положителен, когда синус и косинус имеют одинаковые знаки. Это бывает только в первой и в третьей четвертях, то есть при 
, где а
- любое целое число.
3. отрицателен, когда синус и косинус имеют разные знаки. Это бывает только во второй и в четвертой четвертях, то есть при 
, где а
- любое целое число.
Тангенс
- функция нечетная
. Во-первых, область определения этой функции симметрична относительно начала отсчета. А во-вторых, 
. В силу нечетности синуса и четности косинуса, числитель полученной дроби равен , а ее знаменатель равен , а значит, сама эта дробь равна .
Вот и получилось, что .
Значит, тангенс возрастает на каждом участке своей области определения
, то есть на всех интервалах вида 
, где а
- любое целое число.
Котангенс
Котангенсом числа называется отношение косинуса этого числа к синусу этого числа: . Котангенсом угла в а радиан называется котангенс числа а . Котангенс - функция числа. Ее область определения - множество всех чисел, у которых синус не равен нулю, так как никаких других ограничений в определении котангенса нет. И так как синус равен нулю при , то , где
Область значений котангенса - множество всех действительных чисел.
Период котангенса равен . Ведь если взять любые два допустимые значения x (не равные ), отличающиеся друг от друга на , и провести через них прямую, то эта прямая пройдет через начало координат и пересечет линию котангенсов в некоторой точке t . Вот и получится, что , то есть, что число является периодом котангенса.
Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.
Сбор и использование персональной информации
Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.
От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.
Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.
Какую персональную информацию мы собираем:
- Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.
Как мы используем вашу персональную информацию:
- Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
- Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
- Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
- Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.
Раскрытие информации третьим лицам
Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.
Исключения:
- В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
- В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.
Защита персональной информации
Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.
Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании
Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.
Отсчёт углов на тригонометрическом круге.
Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")
Он почти такой, как в предыдущем уроке. Есть оси, окружность, угол, всё чин-чинарём. Добавлены номера четвертей (в уголках большого квадрата) - от первой, до четвёртой. А то вдруг кто не знает? Как видите, четверти (их ещё называют красивым словом "квадранты") нумеруются против хода часовой стрелки. Добавлены значения угла на осях. Всё понятно, никаких заморочек.
И добавлена зелёная стрелка. С плюсом. Что она означает? Напомню, что неподвижная сторона угла всегда прибита к положительной полуоси ОХ. Так вот, если подвижную сторону угла мы будем крутить по стрелке с плюсом , т.е. по возрастанию номеров четвертей, угол будет считаться положительным. Для примера на картинке показан положительный угол +60°.
Если будем откладывать углы в обратную сторону, по ходу часовой стрелки, угол будет считаться отрицательным. Наведите курсор на картинку (или коснитесь картинки на планшете), увидите синюю стрелку с минусом. Это - направление отрицательного отсчёта углов. Для примера показан отрицательный угол (- 60°). А ещё вы увидите, как поменялись циферки на осях... Я их тоже перевёл в отрицательные углы. Нумерация квадрантов не меняется.
Вот тут, обычно, начинаются первые непонятки. Как так!? А если отрицательный угол на круге совпадёт с положительным!? Да и вообще, получается что, одно и то же положение подвижной стороны (или точки на числовой окружности) можно обозвать как отрицательным углом, так и положительным!?
Да. Именно так. Скажем, положительный угол 90 градусов занимает на круге точно такое же положение, что и отрицательный угол в минус 270 градусов. Положительный угол, к примеру, +110° градусов занимает точно такое же положение, что и отрицательный угол -250°.
Не вопрос. Всяко правильно.) Выбор положительного или отрицательного исчисления угла зависит от условия задания. Если в условии ничего не сказано открытым текстом про знак угла, (типа "определить наименьший положительный угол" и т.д.), то работаем с удобными нам величинами.
Исключением (а как без них?!) являются тригонометрические неравенства, но там мы эту фишку освоим.
А теперь вопрос вам. Как я узнал, что положение угла 110° совпадает с положением угла -250°?
Намекну, что это связано с полным оборотом. В 360°... Непонятно? Тогда рисуем круг. Сами рисуем, на бумаге. Отмечаем угол примерно
110°. И считаем
, сколько остается до полного оборота. Останется как раз 250°...
Уловили? А теперь - внимание! Если углы 110° и -250° занимают на круге одно и то же
положение, то что? Да то, что у углов 110° и -250° совершенно одинаковые
синус, косинус, тангенс и котангенс!
Т.е. sin110° = sin(-250°), ctg110° = ctg(-250°) и так далее. Вот это уже действительно важно! И само по себе - есть масса заданий, где надо упростить выражения, и как база для последующего освоения формул приведения и прочих премудростей тригонометрии.
Понятное дело, 110° и -250° я взял наобум, чисто для примера. Всё эти равенства работают для любых углов, занимающих одно положение на круге. 60° и -300°, -75° и 285°, ну и так далее. Отмечу сразу, что углы в этих парочках - разные. А вот тригонометрические функции у них - одинаковые.
Думаю, что такое отрицательные углы вы поняли. Это совсем просто. Против хода часовой стрелки - положительный отсчёт. По ходу - отрицательный. Считать угол положительным, или отрицательным зависит от нас . От нашего желания. Ну, и ещё от задания, конечно... Надеюсь, вы поняли и как переходить в тригонометрических функциях от отрицательных углов к положительным и обратно. Нарисовать круг, примерный угол, да посмотреть, сколько недостаёт до полного оборота, т.е. до 360°.
Углы больше 360°.
Займемся углами которые больше 360°. А такие бывают? Бывают, конечно. Как их нарисовать на круге? Да не проблема! Допустим, нам надо понять, в какую четверть попадёт угол в 1000°? Легко! Делаем один полный оборот против хода часовой стрелки (угол-то нам дали положительный!). Отмотали 360°. Ну и мотаем дальше! Ещё оборот - уже получилось 720°. Сколько осталось? 280°. На полный оборот не хватает... Но угол больше 270° - а это граница между третьей и четвёртой четвертью. Стало быть наш угол в 1000° попадает в четвёртую четверть. Всё.
Как видите, это совсем просто. Ещё раз напомню, что угол 1000° и угол 280°, который мы получили путём отбрасывания "лишних" полных оборотов - это, строго говоря, разные углы. Но тригонометрические функции у этих углов совершенно одинаковые ! Т.е. sin1000° = sin280°, cos1000° = cos280° и т.д. Если бы я был синусом, я бы не заметил разницы между этими двумя углами...
Зачем всё это нужно? Зачем нам переводить углы из одного в другой? Да всё за тем же.) С целью упрощения выражений. Упрощение выражений, собственно, главная задача школьной математики. Ну и, попутно, голова тренируется.)
Ну что, потренируемся?)
Отвечаем на вопросы. Сначала простые.
1. В какую четверть попадает угол -325° ?
2. В какую четверть попадает угол 3000° ?
3. В какую четверть попадает угол -3000° ?
Есть проблемы? Или неуверенность? Идём в Раздел 555, Практическая работа с тригонометрическим кругом. Там, в первом уроке этой самой "Практической работы..." всё подробненько... В таких вопросах неуверенности быть не должно!
4. Какой знак имеет sin555° ?
5. Какой знак имеет tg555° ?
Определили? Отлично! Сомневаетесь? Надо в Раздел 555... Кстати, там научитесь рисовать тангенс и котангенс на тригонометрическом круге. Очень полезная штучка.
А теперь вопросы помудрёнее.
6. Привести выражение sin777° к синусу наименьшего положительного угла.
7. Привести выражение cos777° к косинусу наибольшего отрицательного угла.
8. Привести выражение cos(-777°) к косинусу наименьшего положительного угла.
9. Привести выражение sin777° к синусу наибольшего отрицательного угла.
Что, вопросы 6-9 озадачили? Привыкайте, на ЕГЭ и не такие формулировочки встречаются... Так и быть, переведу. Только для вас!
Слова "привести выражение к..." означают преобразовать выражение так, чтобы его значение не изменилось, а внешний вид поменялся в соответствии с заданием. Так, в задании 6 и 9 мы должны получить синус, внутри которого стоит наменьший положительный угол. Всё остальное - не имеет значения.
Ответы выдам по порядку (в нарушение наших правил). А что делать, знака всего два, а четверти всего четыре... Не разбежишься в вариантах.
6. sin57°.
7. cos(-57°).
8. cos57°.
9. -sin(-57°)
Предполагаю, что ответы на вопросы 6 -9 кое-кого смутили. Особенно -sin(-57°) , правда?) Действительно, в элементарных правилах отсчёта углов есть место для ошибок... Именно поэтому пришлось сделать урок: "Как определять знаки функций и приводить углы на тригонометрическом круге?" В Разделе 555. Там задания 4 - 9 разобраны. Хорошо разобраны, со всеми подводными камнями. А они тут есть.)
В следующем уроке мы разберёмся с загадочными радианами и числом "Пи" . Научимся легко и правильно переводить градусы в радианы и обратно. И с удивлением обнаружим, что этой элементарной информации на сайте уже хватает , чтобы решать некоторые нестандартные задачки по тригонометрии!
Если Вам нравится этот сайт...
Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)
Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)
можно познакомиться с функциями и производными.
Тип урока: систематизации знаний и промежуточного контроля.
Оборудование: тригонометрический круг, тесты, карточки с заданиями.
Цели урока: систематизировать изученный теоретический материал по определениям синуса, косинуса, тангенса угла; проверить степень усвоения знаний по данной теме и применение на практике.
Задачи:
- Обобщить и закрепить понятия синуса, косинуса и тангенса угла.
- Формировать комплексное представление о тригонометрических функциях.
- Способствовать выработке у учащихся желания и потребности изучения тригонометрического материала; воспитывать культуру общения, умение работать в группах и потребности в самообразовании.
«Кто смолоду делает и думает сам, тот
становится потом, надёжнее, крепче, умнее.
(В.Шукшин)
ХОД УРОКА
I. Организационный момент
Класс представлен тремя группами. В каждой группе консультант.
Учитель сообщает тему, цели и задачи урока.
II. Актуализация знаний (фронтальная работа с классом)
1) Работа в группах по заданиям:
1. Сформулировать определение sin угла.
– Какие знаки имеет sin α в каждой координатной четверти?
– При каких значениях имеет смысл, выражение sin α, и какие значения оно может принимать?
2. Вторая группа те – же вопросы для cos α.
3. Третья группа ответы готовит по тем же вопросам tg α и ctg α.
В это время трое учащихся самостоятельно работают у доски по карточкам (представители разных групп).
Карточка № 1.
Практическая работа.
С помощью единичной окружности вычислить для угла 50 , 210 и – 210
значения sin α, cos α и tg α.
Карточка № 2.
Определить знак выражения: tg 275; cos 370; sin 790; tg 4,1 и sin 2.
Карточка № 3.
1) Вычислить:
2) Сравнить: cos 60 и cos 2 30 – sin 2 30
2) Устно:
а) Предложен ряд чисел: 1; 1,2; 3; , 0, , – 1. Среди них есть лишние. Какое свойство sin α или cos α могут выражать эти числа (Может ли sin α или cos α принимать эти значения).
б) Имеет ли смысл выражение: cos (–); sin 2; tg 3: ctg (– 5); ; ctg0;
ctg (– π). Почему?
в) Существует ли наименьшее и наибольшее значение sin или cos, tg, ctg.
г) Верно ли?
1) α = 1000 является углом II четверти;
2) α = – 330 является углом IV четверти.
д) Числам соответствует одна и та же точка на единичной окружности.
3) Работа у доски
№ 567 (2; 4) – Найти значение выражения
№ 583 (1-3) Определить знак выражения
Домашнее задание: таблица в тетради. № 567(1, 3) № 578
III. Усвоение дополнительных знаний. Тригонометрия в ладони
Учитель:
Оказывается, значения синусов и косинусов углов «находятся» на вашей ладони. Протяните руку (любую) и разведите как можно сильнее пальцы (как на плакате). Приглашается один ученик. Мы измеряем углы между нашими пальцами.
Берется треугольник, где есть угол в 30, 45 и 60 90 и прикладываем вершину угла к бугру Луны на ладони. Бугор Луны находится на пересечении продолжений мизинца и большого пальца. Одну сторону совмещаем с мизинцем, а другую сторону – с одним из остальных пальцев.
Оказывается между мизинцем и большим пальцем угол 90, между мизинцем и безымянным – 30, между мизинцем и средним – 45, между мизинцем и указательным – 60. И это у всех людей без исключения
мизинец № 0 – соответствует 0,
безымянный № 1 – соответствует 30,
средний № 2 – соответствует 45,
указательный № 3 – соответствует 60,
большой № 4 – соответствует 90.
Таким образом, у нас на руке 4 пальца и запомним формулу:
№ пальца |
Угол |
Значение |
|
||
|
||
|
Это просто мнемическое правило. Вообще значение sin α или cos α надо знать наизусть, но иногда это правило поможет в трудную минуту.
Придумайте правило для cos (углы без изменения, а отсчета от большого пальца). Физическая пауза, связанная со знаками sin α или cos α.
IV. Проверка усвоений ЗУН
Самостоятельная работа с обратной связью
Каждый ученик получает тест (4 варианта) и лист с ответами для всех одинаковый.
Тест
Вариант 1
1) При каком угле поворота радиус займет то же положение, что и при повороте на угол 50.
2) Найдите значение выражения: 4cos 60 – 3sin 90.
3) Какое из чисел меньше нуля: sin 140, cos 140, sin 50, tg 50.
Вариант 2
1) При каком угле поворота радиус займет тоже положении, что и при повороте на угол 10.
2) Найти значение выражения: 4cos 90 – 6sin 30.
3) Какое из чисел больше нуля: sin 340, cos 340, sin 240, tg (– 240).
Вариант 3
1) Найдите значение выражения: 2ctg 45 – 3cos 90.
2) Какое из чисел меньше нуля: sin 40, cos (– 10), tg 210, sin 140.
3) Углом какой четверти является угол α, если sin α > 0, cos α < 0.
Вариант 4
1) Найдите значение выражения: tg 60 – 6ctg 90.
2) Какое из чисел меньше нуля: sin(– 10), cos 140, tg 250, cos 250.
3) Углом какой четверти является угол α, если ctg α< 0, cos α> 0.
А
|
Б
|
В
|
Г
|
Д
|
Е
|
Ж
|
З
|
И
|
Л
|
М
|
|
Н
|
О
|
П
|
Р
|
С
|
Т
|
У
|
Ф
|
Х
|
Ш
|
Ю
|
Я
|
(слово – тригонометрия ключевое)
V. Сведения из истории тригонометрии
Учитель: Тригонометрия – это достаточно важный раздел математики для жизни человека. Современный вид тригонометрии придал крупнейший математик 18 столетия Леонард Эйлер – швейцарец по происхождению долгие годы работавший в России и являвшийся членом Петербургской академии наук. Он ввел известные определения тригонометрических функций сформулировал и доказал известные формулы, мы их учить будем позже. Жизнь Эйлера очень интересна и я советую познакомиться с ней по книге Яковлева «Леонард Эйлер».
(Сообщение ребят по данной теме)
VI. Подведение итогов урока
Игра «Крестики – нолики»
Участвуют двое учащихся самых активных. Их поддерживают группы. Решение заданий записывается в тетрадь.
Задания
1) Найти ошибку
а) sin 225 = – 1,1 в) sin 115 < О
б) cos 1000 = 2 г) cos (– 115) > 0
2) Выразите в градусах угол
3) Выразите в радианах угол 300
4) Какое наибольшее и наименьшее значение может иметь выражение: 1+ sin α;
5) Определите знак выражения: sin 260, cos 300.
6) В какой четверти числовой окружности расположена точка
7) Определите знаки выражения: cos 0,3π, sin 195, ctg 1, tg 390
8) Вычислите:
9) Сравнить: sin 2 и sin 350
VII. Рефлексия урока
Учитель:
Где мы можем встретиться с тригонометрией?
На каких уроках в 9 классе, да и сейчас вы применяете понятия sin α, cos α; tg α; ctg α и с какой целью?
